Волновое уравнение

Волновое уравнение в физике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

Вид уравнения

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

[math]\displaystyle{ \Delta u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] — оператор Лапласа, [math]\displaystyle{ u=u(x,t) }[/math] — неизвестная функция, [math]\displaystyle{ t\in \mathbb R }[/math] — время, [math]\displaystyle{ x\in \mathbb R^n }[/math] — пространственная переменная, [math]\displaystyle{ v }[/math] — фазовая скорость.

Вывод для трёхмерного случая.

Приведённые выкладки, конечно же, можно обобщить и на многомерные случаи. Итак.

Пусть дано уравнение плоской волны:

[math]\displaystyle{ A(\vec{r},t) = A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right), }[/math]

где

• [math]\displaystyle{ A(x,t) }[/math] — величина возмущения в данной точке пространства [math]\displaystyle{ x }[/math] и времени [math]\displaystyle{ t }[/math];
• [math]\displaystyle{ A_0 }[/math] — амплитуда волны;
• [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — круговая частота;
• [math]\displaystyle{ \vec{k} }[/math] — волновой вектор, равный [math]\displaystyle{ k \vec{n} }[/math]

где

• [math]\displaystyle{ k }[/math] — волновое число;
• [math]\displaystyle{ \vec{n} }[/math] — единичный вектор нормали, проведённый к волновому фронту

• [math]\displaystyle{ \vec{r} \left( x,y,z \right) }[/math] — радиус-вектор точки с координатами [math]\displaystyle{ x,y }[/math] и [math]\displaystyle{ z }[/math];
• [math]\displaystyle{ (\vec{k},\vec{r}) }[/math] — скалярное произведение векторов [math]\displaystyle{ \vec{k} }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec{r} }[/math]. Здесь и далее скалярное произведение будет обозначаться таким образом;
• [math]\displaystyle{ \varphi_0 }[/math] — начальная фаза колебаний.

Продифференцируем его по [math]\displaystyle{ x }[/math], по [math]\displaystyle{ y }[/math], по [math]\displaystyle{ z }[/math] и по [math]\displaystyle{ t }[/math]. Получим четыре уравнения:

[math]\displaystyle{ \left \{ \begin{matrix} \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial t^2} = -\omega^2 A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right) = - \omega^2 A(\vec{r},t) \qquad \left( 1 \right) \\ \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial x^2} = - k_x^2 A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right) = - k_x^2 A(\vec{r},t) \qquad \left( 2 \right) \\\cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial y^2} = -k_y^2 A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right) = - k_y^2 A(\vec{r},t) \qquad \left( 3 \right) \\ \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial z^2} = - k_z^2 A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right) = -k_z^2 A(\vec{r},t) \qquad \left( 4 \right) \end{matrix} \right. }[/math]

Сложим [math]\displaystyle{ \left( 2 \right), \left( 3 \right) }[/math] и [math]\displaystyle{ \left( 4 \right): }[/math]

[math]\displaystyle{ \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial x^2} + \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial y^2} + \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial z^2} = -(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2)A(\vec{r},t) = - \vec{k}^2 \cdot A(\vec{r},t) }[/math]

Из полученного уравнения и уравнения [math]\displaystyle{ \left( 1 \right) , }[/math] заменив [math]\displaystyle{ \cfrac {k^2} {\omega^2} = \cfrac {1} {v^2}, }[/math] получаем, что

[math]\displaystyle{ \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial x^2} + \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial y^2} + \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial z^2} = \cfrac {1} {v^2} \cdot \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial t^2} \Leftrightarrow \Delta A(\vec{r},t) = \cfrac {1} {v^2} \cdot \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial t^2} }[/math]

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны или уравнением продольных колебаний стержня и записывается в виде

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} }[/math].

Данное уравнение можно трактовать следующим образом. Вторая производная координаты по времени — сила (второй закон Ньютона) — пропорциональна кривизне струны (вторая производная по координате). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" на струне, тем большая сила действует на данный участок струны.

Оператор Д’Аламбера

Разность [math]\displaystyle{ \Delta - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} }[/math] называется оператором Д’Аламбера и обозначается как [math]\displaystyle{ \square }[/math] (разные источники используют разный знак). Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как

[math]\displaystyle{ \square u = 0 }[/math]

Неоднородное уравнение

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2\Delta u + f }[/math],

где [math]\displaystyle{ f = f(x,t) }[/math] — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

[math]\displaystyle{ u(x,t) = v(x) e^{i\omega t}\ }[/math] или [math]\displaystyle{ u(x,t) = v(x)\, \mathop{\rm cos}\,(\omega t)\ }[/math].

Решение волнового уравнения

Основная статья: Формула Кирхгофа

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны ([math]\displaystyle{ \mathbb{R}^1 }[/math]) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны ([math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math]) — формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения (здесь [math]\displaystyle{ v = a }[/math] — фазовая скорость)

[math]\displaystyle{ u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)\quad }[/math] (функция [math]\displaystyle{ f(x,t) }[/math] соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

[math]\displaystyle{ u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) }[/math]

имеет вид

[math]\displaystyle{ u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s, \tau)ds d\tau }[/math]

Интересно заметить, что решение однородной задачи

[math]\displaystyle{ u_{tt}=a^2 u_{xx} }[/math],

имеющее следующий вид:

[math]\displaystyle{ u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha} }[/math],

может быть представлено в виде

[math]\displaystyle{ u(x,t)= f_1(x+at) + f_2(x-at) }[/math],

где

[math]\displaystyle{ f_1(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{x}_{0}{\psi(\alpha)d \alpha} }[/math]

[math]\displaystyle{ f_2(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{0}_{x}{\psi(\alpha)d \alpha} }[/math]

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции [math]\displaystyle{ f_1(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ f_2(x) }[/math] — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае решение задачи Коши также может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи преобразования Фурье

Задача на полупрямой

Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой [math]\displaystyle{ [0; +\infty) }[/math]

[math]\displaystyle{ u_{tt} = a^2 u_{xx} }[/math]

с закрепленным концом:

[math]\displaystyle{ u(0,t) = 0 }[/math]

и начальными условиями

[math]\displaystyle{ u(x,0)=\varphi(x),\qquad u_t(x,0)=\psi(x) }[/math]

для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:

[math]\displaystyle{ \varphi(0) = 0,\qquad \psi(0) = 0 }[/math]

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:

[math]\displaystyle{ \varphi(-x)=-\varphi(x),\qquad \psi(-x)=-\psi(x) \qquad \forall x \in [0, +\infty) }[/math]

В силу того, что начальные условия [math]\displaystyle{ \varphi(x), \psi(x) }[/math] — нечётные функции, логично ожидать, что и решение [math]\displaystyle{ u(x,t) }[/math] будет нечётной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию [math]\displaystyle{ u(0,t) = 0 }[/math] (последнее следует из нечётности функции).

Показанный приём широко используется (не только для волнового уравнения) и называется метод отражения. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ u_x(0,t)=0 }[/math].

Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

Методы решения в ограниченной одномерной области

Метод отражений

Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке [math]\displaystyle{ [0,a] }[/math]

[math]\displaystyle{ u_{tt}=a^2 u_{xx} }[/math]

с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)

[math]\displaystyle{ u(0,t)=0 \qquad u(a,t)=0 }[/math]

и начальными условиями

[math]\displaystyle{ u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, a] }[/math]

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

[math]\displaystyle{ \varphi(2na + x) = \varphi(x) \qquad \psi(2na + x) = \psi(x) \qquad \forall x \in [0,a] \quad \forall n \in Z }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi(2na - x) = - \varphi(x) \qquad \psi(2na - x) = -\psi(x) \qquad \forall x \in [0,a] \quad \forall n \in Z }[/math]

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:

[math]\displaystyle{ u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t) }[/math]

используются ровно те же соображения, и функция [math]\displaystyle{ f(x,t) }[/math] продолжается таким же образом.

Метод Фурье

Основная статья: Метод Фурье

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке [math]\displaystyle{ [0,l] }[/math]

[math]\displaystyle{ u_{tt}=a^2 u_{xx} }[/math]

с однородными граничными условиями первого рода

[math]\displaystyle{ u(0,t)=0 \qquad u(l,t)=0 }[/math]

и начальными условиями

[math]\displaystyle{ u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, l] }[/math]

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида

[math]\displaystyle{ X(x)T(t) }[/math], где обе функции зависят только от одной переменной.

Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция [math]\displaystyle{ u(x,t)=X(x)T(t) }[/math] была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо, чтобы выполнялись условия

[math]\displaystyle{ X(0) = 0 \qquad X(l) = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ a^2 X''(x) = - \lambda X(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ T''(t) = - \lambda T(t) }[/math]

Решение задачи Штурма-Лиувилля на [math]\displaystyle{ X(x) }[/math] приводит к ответу:

[math]\displaystyle{ X_n(x) = \sin \left( \frac{\pi n x}{l} \right) \qquad n \in \mathbf{N} }[/math]

и их собственным значениям [math]\displaystyle{ \lambda_n = \left(\frac {\pi n a}{l}\right)^2 }[/math]

Соответствующие им функции [math]\displaystyle{ T }[/math] выглядят как

[math]\displaystyle{ T_n(t) = \alpha_n \sin ( \sqrt \lambda_n t ) + \beta_n \cos ( \sqrt \lambda_n t ). }[/math]

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи

[math]\displaystyle{ u(x,t) = \sum_{n=1}^{+\infty} X_n(x)T_n(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \alpha_n \sin ( \sqrt \lambda_n t ) + \beta_n \cos ( \sqrt \lambda_n t ) \right) \sin \frac{\pi n x}{l}. }[/math]

Разложив функции [math]\displaystyle{ \varphi(x), \psi(x) }[/math] в ряд Фурье, можно получить коэффициенты [math]\displaystyle{ \alpha_n, \beta_n }[/math], при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

Метод учёта волн

Импульс, отражающийся от закрепленных граничных концов, упругие колебания моделируются волновым уравнением

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке [math]\displaystyle{ [0,a] }[/math]

[math]\displaystyle{ u_{tt}= u_{xx}, }[/math]

однако на сей раз положим однородные начальные условия

[math]\displaystyle{ u(x,0) \equiv 0,\quad u_t(x,0) \equiv 0 \qquad \forall x \in [0, a] }[/math]

и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени (граничное условие первого рода)

[math]\displaystyle{ u(0,t)=\mu(t) \qquad u(a,t)=\nu(t) }[/math]

Решение записывается в виде

[math]\displaystyle{ u(x,t)= \sum_{k=0}^{+\infty} \biggl[ \mu(t - x - 2ka) - \mu(t + x - (2k+2)a) \biggr] + \sum_{k=0}^{+\infty} \biggl[ \nu(t + x - (2k+1)a) - \nu(t - x - (2k+1)a) \biggr] }[/math]

В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида

[math]\displaystyle{ \mu(t-x), }[/math]

которая, добегая за время а до правого конца, отражается и даёт вклад

[math]\displaystyle{ \mu(t+x-2a), }[/math]

через время а снова отражается и дает вклад

[math]\displaystyle{ \mu(t-x-2a), }[/math]

Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке [math]\displaystyle{ [0,T] }[/math], то мы можем ограничиться лишь первыми [math]\displaystyle{ \lceil T / a \rceil }[/math] слагаемыми.

Уравнение плоской электромагнитной волны

Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf H=\mathbf{j}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf B=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf D=\rho }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{B}=\mu\mu_0\mathbf{H} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{D}=\varepsilon\varepsilon_0\mathbf{E} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{E} }[/math] — вектор напряженности электрического поля

[math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] — вектор напряженности магнитного поля

[math]\displaystyle{ \mathbf{B} }[/math] — вектор магнитной индукции

[math]\displaystyle{ \mathbf{D} }[/math] — вектор электрической индукции

[math]\displaystyle{ \mu }[/math] — магнитная проницаемость

[math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] — магнитная постоянная

[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] — электрическая проницаемость

[math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math] — электрическая постоянная

[math]\displaystyle{ \mathbf{j} }[/math] — плотность тока

[math]\displaystyle{ \rho }[/math] — плотность заряда

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot} }[/math] — ротор, дифференциальный оператор, [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf E= \mathbf{\nabla}\times\mathbf E=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z \end{vmatrix}= \left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right) \mathbf i+ \left(\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right) \mathbf j+ \left(\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) \mathbf k }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{div} }[/math] - дивергенция, дифференциальный, [math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf{E}=\nabla \cdot \mathbf E= \frac{\partial E_x}{\partial x} +\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta }[/math] - оператор Лапласа, [math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{E} =\Delta E_x \mathbf i + \Delta E_y \mathbf j +\Delta E_z \mathbf k }[/math] , [math]\displaystyle{ \Delta = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 }{\partial y^2} +\frac{\partial^2 }{\partial z^2} }[/math]

Для электромагнитной волны [math]\displaystyle{ \mathbf{j}=0 }[/math], [math]\displaystyle{ \rho=0 }[/math] , поэтому:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf H=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf D=\varepsilon\varepsilon_0\operatorname{div}\mathbf E=0 }[/math]

Согласно свойству ротора векторного поля [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\operatorname{rot}\mathbf E=\mathbf{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\mathbf E)-\Delta E }[/math]. Подставив сюда [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf E=0 }[/math] , получим:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\left( -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right) =-\Delta \mathbf{E} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{E} =\operatorname{rot}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{E} =\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}\mathbf{B} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{E} =\mu\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}\mathbf{H} }[/math] подставляем сюда из уравнений Максвелла [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf H=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} }[/math] , получаем:

[math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{E} =\mu\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{E} =\mu\mu_0{\partial^2 \mathbf{D} \over \partial t^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{E} =\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0{\partial^2 \mathbf{E} \over \partial t^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ c=1/\sqrt{\mu\mu_0\epsilon\epsilon_0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta E_x \mathbf i + \Delta E_y \mathbf j +\Delta E_z \mathbf k = \frac{1}{c^2} {\partial^2 \over \partial t^2} (E_x \mathbf{i} + E_y \mathbf{j} + E_z \mathbf{k}) }[/math]

Вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{E} }[/math] колеблется в плоскости [math]\displaystyle{ XY }[/math] перпендикулярно оси [math]\displaystyle{ X }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ E_x=E_z=0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \Delta E_y = \frac{1}{c^2} {\partial^2 E_y \over \partial t^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 E_y }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 E_y }{\partial y^2} +\frac{\partial^2 E_y }{\partial z^2}=\frac{1}{c^2} {\partial^2 E_y \over \partial t^2} }[/math]

Волна распространяется вдоль оси [math]\displaystyle{ X }[/math], поэтому [math]\displaystyle{ \mathbf E }[/math] не зависит от координат [math]\displaystyle{ y }[/math] и [math]\displaystyle{ z }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 E_y }{\partial x^2}= \frac{1}{c^2} {\partial^2 E_y \over \partial t^2} }[/math]

Аналогичное выражение можно получить для [math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] :

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 H_z }{\partial x^2}= \frac{1}{c^2} {\partial^2 H_z \over \partial t^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}= \frac{1}{c^2} ({\partial^2 E_y \over \partial t^2}) \\ \frac{\partial^2 H_z}{\partial x^2}= \frac{1}{c^2} ({\partial^2 H_z \over \partial t^2}) \end{cases} }[/math] (1)

Простейшим решением этих уравнений будут функции:

[math]\displaystyle{ E_y=E_m \cos(\omega t - kx) }[/math] (2)

[math]\displaystyle{ H_z=H_m \cos(\omega t - kx) }[/math]

[math]\displaystyle{ k }[/math] - волновое число. Найдем его, подставив уравнение (2) в первое уравнение (1):

[math]\displaystyle{ E_m k^2 \cos(\omega t - kx) = \frac{1}{c^2} E_m \omega^2 \cos(\omega t - kx) }[/math]

Отсюда находим, что [math]\displaystyle{ k=\frac{\omega}{c} }[/math]

Отношение амплитуд электрической и магнитной составляющей электромагнитной волны

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = -\mu \mu_0 \frac{\partial\mathbf{H}}{\partial t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right) \mathbf i+ \left(\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right) \mathbf j+ \left(\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) \mathbf k = -\mu \mu_0 \frac{\partial}{\partial t}(H_x \mathbf i + H_y \mathbf j + H_z \mathbf k) }[/math]

Волна движется вдоль оси [math]\displaystyle{ X }[/math], поэтому производные по [math]\displaystyle{ \partial x }[/math] и [math]\displaystyle{ \partial z }[/math] равны нулю.

[math]\displaystyle{ \mathbf{E} }[/math] распространяется в плоскости [math]\displaystyle{ XY }[/math] перпендикулярно [math]\displaystyle{ X }[/math] поэтому [math]\displaystyle{ E_x=E_z=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{H} }[/math] распространяется в плоскости [math]\displaystyle{ XZ }[/math] перпендикулярно [math]\displaystyle{ X }[/math] поэтому [math]\displaystyle{ H_x=H_y=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial E_y}{\partial x} = -\mu \mu_0 \frac{\partial H_z}{\partial t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf H=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} = \varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial H_z}{\partial y} - \frac{\partial H_y}{\partial z}\right) \mathbf i+ \left(\frac{\partial H_x}{\partial z} - \frac{\partial H_z}{\partial x}\right) \mathbf j+ \left(\frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y}\right) \mathbf k = \varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}(E_x \mathbf i + E_y \mathbf j + E_z \mathbf k) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial H_z}{\partial x} = -\varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} }[/math]

Получилось два уравнения:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial E_y}{\partial x} = -\mu \mu_0 \frac{\partial H_z}{\partial t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial H_z}{\partial x} = -\varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t} }[/math]

Подставим в них решение:

[math]\displaystyle{ E_y=E_m \cos(\omega t - kx) }[/math]

[math]\displaystyle{ H_z=H_m \cos(\omega t - kx) }[/math]

Получим:

[math]\displaystyle{ E_m k\sin(\omega t - kx) = \mu \mu_0 H_m \omega\sin(\omega t - kx) }[/math]

[math]\displaystyle{ H_m k\sin(\omega t - kx) =\varepsilon\varepsilon_0 E_m \omega\sin(\omega t - kx) }[/math]

[math]\displaystyle{ E_m k = \mu \mu_0 H_m \omega }[/math]

[math]\displaystyle{ \varepsilon\varepsilon_0 E_m \omega = H_m k }[/math]

Умножим одно на другое:

[math]\displaystyle{ \varepsilon\varepsilon_0 E_m^2 k \omega = \mu \mu_0 H_m^2 k \omega }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{E_m}{H_m} =\sqrt {\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = =\sqrt {\frac {\mu_0}{\varepsilon_0}}= \sqrt { (4\pi 10^{-7})(4 \pi c^2 10^7)}= \sqrt { (4\pi 10^{-7})(4 \pi 9\cdot10^{16} 10^{-7})}= \sqrt { (4\pi )(4 \pi 900)}=120\pi\approx377 }[/math]

См. также

• Спор о струне
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Клейна — Гордона — Фока
• Волновое уравнение в случайно неоднородной среде
• Формула Кирхгофа
• Специальная теория относительности

Ссылки

• Волновое уравнение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.
• И.В.Савельев "Курс общей физики" том II
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984