Формула Кирхгофа

Фо́рмула Кирхго́фа — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.

Полная формулировка задачи и ответа

Рассмотрим уравнение

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\triangle u = f }[/math], где функции [math]\displaystyle{ u=u(\mathbf{x},t) }[/math] и [math]\displaystyle{ f=f(\mathbf{x},t) }[/math] определены на [math]\displaystyle{ (\mathbf{x},t)\in\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^+ }[/math], а [math]\displaystyle{ \triangle }[/math] — оператор Лапласа.

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерной однородной среде со скоростью [math]\displaystyle{ a }[/math] в моменты времени [math]\displaystyle{ t\gt 0 }[/math].

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени [math]\displaystyle{ t=0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ u|_{t=0}=\varphi_0(\bar{x}),\quad \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\varphi_1(\bar{x}) }[/math]

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи в трёхмерном случае:

[math]\displaystyle{ u(\mathbf{x},t)= \frac{\partial}{\partial t}\left [ \frac{1}{4\pi a^2t}\iint\limits_{S}\varphi_0(\mathbf{y})d^2 S_n \right ] + \frac{1}{4\pi a^2t}\iint\limits_{S}\varphi_1(\mathbf{y})d^2 S_n + \frac{1}{4\pi a^2}\iiint\limits_{\left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | \leqslant at}\frac{f\left ( \mathbf{y}, t-\frac{\left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | }{a}\right ) }{\left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | }d^3\mathbf{y} }[/math]

где поверхностные интегралы берутся по сфере [math]\displaystyle{ S\colon \left | \mathbf{x}-\mathbf{y}\right | =at }[/math].

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье.

Физические следствия

Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] на некотором компакте [math]\displaystyle{ M }[/math] есть локальное возмущение ([math]\displaystyle{ \varphi_0\ne0 }[/math] и/или [math]\displaystyle{ \varphi_1\ne0 }[/math]). Если мы находимся в некоторой точке [math]\displaystyle{ \bar{x}_0\in\mathbb{R}^3 }[/math], то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время [math]\displaystyle{ t_1=\frac{1}{a}\inf_{\bar{y}\in M}\left | \bar{y} - \bar{x}_0\right | }[/math].

Вне отрезка времени [math]\displaystyle{ \left [ t_1; t_2 \right ] }[/math], где [math]\displaystyle{ t_2=\frac{1}{a}\sup_{\bar{y}\in M}\left | \bar{y} - \bar{x}_0\right | }[/math], функция [math]\displaystyle{ u(x_{0},t) }[/math] равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math], уже не будет компактным в [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math], а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).

Формула Пуассона — Парсеваля

Решение уравнения колебаний мембраны (двумерного пространства)

[math]\displaystyle{ u_{tt}=a^2 \triangle u + f }[/math]

(функция [math]\displaystyle{ f(x,t) }[/math] соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

[math]\displaystyle{ u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) }[/math]

задаётся формулой:

[math]\displaystyle{ u(\bar{x},t)=u(x_1,x_2,t)= \frac{1}{2\pi a}\int\limits_0^t\iint\limits_{r\lt a(t-\tau)}\frac{f(y_1,y_2,\tau)dy_1 dy_2 d\tau}\sqrt{a^2(t-\tau)^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2} +\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{2\pi a}\iint\limits_{r\lt at}\frac{\varphi(y_1,y_2)dy_1 dy_2}\sqrt{a^2t^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2} +\frac{1}{2\pi a}\iint\limits_{r\lt at}\frac{\psi(y_1,y_2)dy_1 dy_2}\sqrt{a^2t^2-(y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2} }[/math].

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

[math]\displaystyle{ u_{tt}=a^2 u_{xx} + f\quad }[/math] (функция [math]\displaystyle{ f(x,t) }[/math] соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

[math]\displaystyle{ u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) }[/math]

имеет вид

[math]\displaystyle{ u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s,\tau)ds d\tau }[/math]

В область [math]\displaystyle{ \mathrm{II} }[/math] приходят характеристики только из одного семейства

При пользовании формулой Д’Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^1\times[0, T] }[/math]. Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: [math]\displaystyle{ u(x,t)=f(x+at)+g(x-at) }[/math], то есть оно определяется двумя семействами характеристик: [math]\displaystyle{ x+at=\xi,\ x-at=\eta }[/math]. Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии [math]\displaystyle{ x\ge 0 }[/math]. Видно, что в область [math]\displaystyle{ \mathrm{I} }[/math] приходят как [math]\displaystyle{ \xi }[/math]-характеристики, так и [math]\displaystyle{ \eta }[/math]-характеристики, в то время как в области [math]\displaystyle{ \mathrm{II} }[/math] есть только [math]\displaystyle{ \xi }[/math]-характеристики. То есть, в области [math]\displaystyle{ \mathrm{II} }[/math] формула Д’Аламбера не работает.

Применение формул

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения [math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\triangle u+f(\bar{x},t) }[/math] с начальными условиями [math]\displaystyle{ u(\bar{x},0)=\varphi_0(\bar{x}),\ u_t(\bar{x},0)=\varphi_1(\bar{x}) }[/math] и искать решение в виде суммы трех функций: [math]\displaystyle{ u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t) }[/math], которые удовлетворяют следующим условиям:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 A}{\partial t^2}=a^2\triangle A+f(\bar{x},t), \qquad A(\bar{x},0)=0,\ A_t(\bar{x},0)=0; }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 B}{\partial t^2}=a^2\triangle B, \qquad B(\bar{x},0)=\varphi_0(\bar{x}),\ B_t(\bar{x},0)=0; }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 C}{\partial t^2}=a^2\triangle C, \qquad C(\bar{x},0)=0,\ \mathit{C}_t(\bar{x},0)=\varphi_1(\bar{x}). }[/math]

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путём замены переменных. Например, пусть [math]\displaystyle{ \varphi_1(x,y,z)=\frac{1}{1+(x+3y-2z)^2} }[/math]. Тогда после замены [math]\displaystyle{ \xi=x+3y-2z }[/math] уравнение для задачи «С» примет вид:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 C}{\partial t^2}=14a^2\frac{\partial^2 C}{\partial \xi^2}, \qquad \mathit{C}(\xi,0)=0,\ C_t(\xi,0)=\frac{1}{1+\xi^2}. }[/math]

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д’Аламбера:

[math]\displaystyle{ C(\xi,t)=\frac{1}{2\sqrt{14}a}\int\limits_{\xi-\sqrt{14}at}^{\xi+\sqrt{14}at}\frac{d\eta}{1+\eta^2}=\frac{1}{2\sqrt{14}a}\left ( \operatorname{arctg}(\xi+\sqrt{14}at)-\operatorname{arctg}(\xi-\sqrt{14}at)\right ) . }[/math]

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области [math]\displaystyle{ t\gt 0 }[/math].

Литература

• Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. Сборник типовых задач по курсу Уравнения математической физики. — М.: МФТИ, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6.

Ссылки

• Раздел о формуле Д’Аламбера