Волновое число
Волновое число | |
---|---|
[math]\displaystyle{ \ k }[/math] | |
Размерность | L−1 |
Единицы измерения | |
СИ | м−1 |
СГС | см−1 |
Примечания | |
скаляр |
Волново́е число́ — это отношение 2π радиан к длине волны:
- [math]\displaystyle{ k \equiv \frac{2\pi}{\lambda}, }[/math]
— пространственный аналог угловой частоты[1].
С волновым числом связана другая величина, называемая пространственной частотой — количество периодов колебаний в пространстве на единицу длины[2][3]. В спектроскопии волновым числом называют именно пространственную частоту и обычно измеряют в обратных сантиметрах (см−1).
Обычное обозначение[4]: [math]\displaystyle{ k }[/math].
Определение: волновым числом k называется быстрота роста фазы волны φ по пространственной координате[5]:
- [math]\displaystyle{ k \equiv \frac{d \varphi}{ dx}. }[/math]
В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак минус, если волна распространяется в отрицательном направлении (против оси). В многомерном — это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определённое выбранное направление.
Поскольку в большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или по крайней мере почти монохроматической), производную в определении можно (для этих самых распространенных случаев) заменить на выражение с конечными разностями:
- [math]\displaystyle{ k \equiv \frac{\Delta \varphi}{ \Delta x}. }[/math]
Исходя из этого, можно получить разные более-менее удобные формулировки[6]:
- Волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра).
- Волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на 2π метров.
- Волновое число равно числу радиан волны на отрезке в 1 метр.
В спектроскопии волновым числом часто называют просто величину, обратную длине волны (1/λ), измеряемую обычно в обратных сантиметрах (см−1). Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя 2π.
Единица измерения — рад·м−1, физическая размерность м−1 (в системе СГС: см−1).
Используется в физике, математике[7] (преобразование Фурье) и таких приложениях, как обработка изображений.
Основные соотношения
- [math]\displaystyle{ k \equiv \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi\nu}{v_{\varphi}}=\frac{\omega}{v_{\varphi}}, }[/math]
где:
- λ — длина волны,
- [math]\displaystyle{ \nu }[/math] (греческая буква «ню») — частота,
- [math]\displaystyle{ v }[/math]φ — фазовая скорость волны,
- ω — угловая частота.
Для монохроматической бегущей волны можно записать:
- [math]\displaystyle{ \varphi = k x - \omega t }[/math] — для фазы;
- [math]\displaystyle{ u(x,t) = const\cdot \mathrm{cos}(k x - \omega t + \varphi_0) }[/math] — для самой волны;
или
- [math]\displaystyle{ u(x,t) = const\cdot e^{i(k x - \omega t)} }[/math]
- — для комплексной волны; здесь [math]\displaystyle{ \varphi_0 }[/math] может быть спрятано в [math]\displaystyle{ const }[/math],
для монохроматической стоячей волны:
- [math]\displaystyle{ u(x,t) = const\cdot \mathrm{cos}(k\cdot (x-x_0)) \mathrm{cos}(\omega\cdot (t-t_0)). }[/math]
Замечания
Волновое число точно определено для монохроматической волны. К волнам другого вида волновое число относится через понятие спектра (то есть через преобразования Фурье), то есть немонохроматическая волна вообще говоря содержит в разных пропорциях монохроматические компоненты с разными волновыми числами; впрочем, почти монохроматические волны могут приближенно быть описаны как волны с определённым волновым числом (их спектр в основном сосредоточен вблизи одного значения волнового числа).
Иногда, например, в квазигеометрическом (квазиклассическом) приближении, можно рассматривать волновое число (волновой вектор) как медленно меняющийся в пространстве, то есть волну не как монохроматическую, а как квазимонохроматическую. В этом случае, естественно, лучше использовать определение волнового числа (волнового вектора) с производной, а не с конечными разностями.
В сущности, единственный физически осмысленный случай, когда волновое число (волновой вектор) может меняться с x, даже относительно быстро, это случай формализма интеграла по траекториям. В этом случае в теории для описания волны присутствуют волны весьма специального вида:
- [math]\displaystyle{ u(x,t) = e^{i\int(k dx - \omega dt)}, }[/math]
для которых упомянутое вполне корректно и осмысленно.
Волновое число в квантовой физике
В квантовой физике связывается с компонентой импульса по данному направлению:
- [math]\displaystyle{ p_x = \hbar k_x, }[/math]
где
- px — компонента импульса по направлению x (для одномерной системы — полный импульс),
- kx — волновое число (компонента волнового вектора) по направлению x (для одномерной системы — просто волновое число),
- ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).
Поскольку константа Планка — универсальная константа, можно выбором системы единиц просто сделать ħ = 1. Тогда
- [math]\displaystyle{ p_x = k_x, }[/math]
то есть в квантовой физике понятия компоненты импульса и волнового числа по сути совпадают. Это можно считать одним из фундаментальных принципов квантовой механики.
То же можно сказать для полного импульса и волнового числа без указания направления абсолютной величины волнового вектора):
- [math]\displaystyle{ p = \hbar k, }[/math]
а в единицах ħ = 1:
- [math]\displaystyle{ p = k }[/math]
В частном случае, для света в вакууме (и, в принципе, любых других безмассовых полей; приближенно — для ультрарелятивистских частиц) можно также написать:
- [math]\displaystyle{ k = \frac{E}{\hbar c}, }[/math]
где
- E — энергия,
- ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака),
- c — скорость света в вакууме.
Волновое число в электродинамике
Запишем уравнение плоской электромагнитной волны:
[math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{E} =\frac{1}{c^2}{\partial^2 \mathbf{E} \over \partial t^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \Delta \mathbf{H} =\frac{1}{c^2}{\partial^2 \mathbf{H} \over \partial t^2} }[/math]
В координатной форме:
[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 E_y }{\partial x^2}= \frac{1}{c^2} {\partial^2 E_y \over \partial t^2} }[/math] (1)
[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 H_z }{\partial x^2}= \frac{1}{c^2} {\partial^2 H_z \over \partial t^2} }[/math]
Решение этих уравнений будут:
[math]\displaystyle{ E_y=E_m \cos(\omega t - kx) }[/math] (2)
[math]\displaystyle{ H_z=H_m \cos(\omega t - kx) }[/math]
[math]\displaystyle{ \omega }[/math] - частота волны
[math]\displaystyle{ k }[/math] - волновое число
[math]\displaystyle{ c }[/math] - скорость света в вакууме
Подставим уравнение (2) в (1):
[math]\displaystyle{ E_m k^2 \cos(\omega t - kx) = \frac{1}{c^2} E_m \omega^2 \cos(\omega t - kx) }[/math]
[math]\displaystyle{ k=\frac{\omega}{c} }[/math][8]
Таким образом, волновое число - это количество колебаний на один метр.
См. также
Примечания
- ↑ Круговая частота измеряется в радианах в секунду, волновое число — в радианах на метр
- ↑ Это практически полные синонимы, различающиеся несколько лишь традиционными предпочтениями употребления в разных областях, так, термин волновое число в основном употребляется в физике (впрочем, наряду с термином пространственная частота), в математике же и различных приложениях (таких, как обработка изображений) обычно употребляется для сходного понятия термин пространственная частота и даже просто частота. Дополнительно заметим, что для термина пространственная частота (частота) нередко допускается многомерное понимание, то есть он употребляется и в качестве практического синонима термина волновой вектор, тогда как для термина волновое число такое употребление по понятным причинам практически исключено. Впрочем, компоненты волнового вектора могут называться волновыми числами по осям координат.
- ↑ Физическая энциклопедия. В 5 томах/ Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин. — М.: Советская энциклопедия + Большая российская энциклопедия. — 1998.
- ↑ Зачастую используются и другие, как правило, оговоренные явно.
- ↑ В одномерном случае выбор пространственной координаты однозначен (с точностью до зеркального отражения), в многомерном же случае по умолчанию координата x выбирается так, чтобы совпадать с направлением максимальной скорости роста фазы, то есть перпендикулярно фазовому фронту; в этом случае волновое число есть абсолютная величина волнового вектора. Наконец иногда направление x задается явно и может не совпадать с упомянутым только что; тогда обычно говорят о волновом числе по направлению x и явно указывают это в обозначении: [math]\displaystyle{ k_x }[/math].
- ↑ Включая и формулировку в начале статьи
- ↑ В математике (и многих приложениях) — в основном в терминологической форме пространственная частота или даже просто частота.
- ↑ И.В.Савельев "Курс общей физики" том II параграф "Плоская электромагнитная волна"
Для улучшения этой статьи по физике желательно: |