Перейти к содержанию

Мадхава из Сангамаграмы

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Эта статья — об астрономе и математике. О кришнаитском святом см. Мадхава Гхош.
Мадхава
малаял. സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ
хинди संगमग्राम के माधव
Страна  Индия
Научная сфера астрономия, математика
Известен как первый получил разложение тригонометрических функций в ряды

Ма́дхава из Сангамаграмы (малаял. സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ, хинди संगमग्राम के माधव; 1350 — 1425) — средневековый индийский астроном и математик XIV—XV веков, основатель Керальской школы астрономии и математики. Сангамаграма, где он родился — это, как полагают историки, нынешний город Иринджалакуда[англ.] в штате Керала, южная Индия.

Мадхава первым стал заниматься разложением тригонометрических функций в ряды; эти исследования продолжили Нилаканта Сомаяджи и другие учёные керальской школы[1][2]. Другие исследования Мадхавы относятся к алгебре, тригонометрии и геометрии.

Научная деятельность

Труды Мадхавы, за исключением двух, не сохранились, так что судить о его влиянии можно по многочисленным ссылкам и цитатам его учеников и последователей. Из-за этого, впрочем, трудно отделить результаты самого Мадхавы от достижений других керальских учёных.

Разложение тригонометрических функций

Приведём основные разложения в современных обозначениях (керальцы излагали их словесно, нередко стихами на санскрите).

№ Ряд Пояснение Когда и кем открыт в Европе
1 [math]\displaystyle{ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots }[/math] Ряд для синуса Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
2 [math]\displaystyle{ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots }[/math] Ряд для косинуса Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
3 [math]\displaystyle{ \operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots }[/math] Ряд для арктангенса Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)
4 [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots }[/math] Ряд для числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math] Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)

Эти ряды часто называют рядами Мадхавы-Лейбница или Мадхавы-Грегори[3]. С помощью указанных рядов Мадхава рассчитал и опубликовал точные таблицы синусов[4]. Ещё один ряд, приведённый в труде Джьештадевы[англ.] со ссылкой на Мадхаву, позволяет рассчитать значение арктангенса:

[math]\displaystyle{ \theta = \operatorname{tg} \theta - \frac{\operatorname{tg}^3 \theta}{3} + \frac{\operatorname{tg}^5 \theta}{5} - \frac{\operatorname{tg}^7 \theta}{7} + \cdots }[/math]

Значение числа π

Расчёт значения числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math] по приведённой выше формуле обнаружен в трактате «Махаджьянаяна», автор которого неизвестен. Часть историков приписывает его Мадхаве, другие — кому-то из его последователей в XVI веке[5]. В трактате приводится также преобразованный ряд, который сходится быстрее:

[math]\displaystyle{ \pi = \sqrt{12}\left(1-{1\over 3\cdot3}+{1\over5\cdot 3^2}-{1\over7\cdot 3^3}+\cdots\right) }[/math]

Сумма первых 21 слагаемых даёт значение [math]\displaystyle{ 3{{,}}14159265359 }[/math], все знаки, исключая последний, верны[6].

Возможно, Мадхаве принадлежит трактат «Садратнамала», где приводится ещё более точное значение: [math]\displaystyle{ \pi=3{{,}}14159265358979324 }[/math] (верны все знаки, кроме последнего)[7][6]

Труды

Как уже говорилось выше, точно неизвестно, какие из дошедших до нас трудов керальских учёных принадлежат Мадхаве. Историк К. В. Сарма приводит следующий список[8][9]:

  1. Голавада
  2. Мадхьяманаянапракара
  3. Махаджьянаянапракара
  4. Лагнапракарана (लग्नप्रकरण)
  5. Венвароха (वेण्वारोह)[10]
  6. Спхутакандрапти (स्फुटचन्द्राप्ति)
  7. Аганита-грахакара (अगणित-ग्रहचार)
  8. Чандравакьяс (चन्द्रवाक्यानि)

См. также

Литература

  • Бахмутская Э. Я. Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV - XVIII вв // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1960. — № 13. — С. 325—334.
  • Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. Либроком, 2009, 184 с. (Физико-математическое наследие: математика). ISBN 978-5-397-00474-9.
  • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
  • Стюарт, Иэн. Новатор бесконечности. Мадхава из Сангамаграмы // Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков. — М.: Альпина нон-фикшн, 2019. — 446 с. — ISBN 978-5-91671-946-8.
  • Bressoud, David. Was Calculus Invented in India? // The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.). — 2002. — Vol. 33, № 1. — P. 2–13.
  • Roy, Ranjan. Discovery of the Series Formula for [math]\displaystyle{ \pi }[/math] by Leibniz, Gregory, and Nilakantha // Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.). — 1990. — Vol. 63, № 5. — P. 291–306.

Ссылки

Примечания

  1. ↑ Паплаускас А. Б. Доньютоновский период развития бесконечных рядов. Часть I // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1973. — Т. XVIII. — С. 104—131.
  2. ↑ C. T. Rajagopal and M. S. Rangachari. On an untapped source of medieval Keralese Mathematics (англ.) // Archive for History of Exact Sciences : journal. — 1978. — June (vol. 18). — P. 89—102. — doi:10.1007/BF00348142.
  3. ↑ Gupta R. C. The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70.
  4. ↑ MacTutor.
  5. ↑ T. Hayashi, T. Kusuba and M. Yano. 'The correction of the Madhava series for the circumference of a circle', Centaurus 33 (pages 149—174). 1990.
  6. ↑ Перейти обратно: 6,0 6,1 R C Gupta. Madhava's and other medieval Indian values of pi // Math. Education. — 1975. — Т. 9, № 3. — С. B45—B48.
  7. ↑ Ian G. Pearce (2002). Madhava of Sangamagramma Архивная копия от 30 апреля 2003 на Wayback Machine. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
  8. ↑ Sarma, K. V. Contributions to the study of Kerala school of Hindu astronomy and mathematics (англ.). — Hoshiarpur: V V R I, 1977.
  9. ↑ David Edwin Pingree. Census of the exact sciences in Sanskrit (англ.). — Philadelphia: American Philosophical Society, 1981. — Vol. 4. — P. 414—415. — (A).
  10. ↑ K Chandra Hari. Computation of the true moon by Madhva of Sangamagrama (англ.) // Indian Journal of History of Science : journal. — 2003. — Vol. 38, no. 3. — P. 231—253.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Мадхава_из_Сангамаграмы&oldid=18441856