Формула Эйлера — Маклорена

Формула суммирования Эйлера — Маклорена — формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.

Формула была найдена независимо Леонардом Эйлером в 1732 году и Колином Маклореном примерно в 1735 году (и позже была обобщена до формулы Дарбу). Эйлер получил эту формулу, когда ему потребовалось вычислить медленно сходящийся ряд, а Маклорен использовал её для вычисления интегралов.

Формула

Формула Эйлера — Маклорена имеет вид:

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{a \leqslant k \lt b}f(k) = \int\limits_a^b f(x)dx + \left.\sum\limits_{k=1}^m \frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_a^b + R_m, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ R_m=(-1)^{m+1}\int\limits_a^b\frac{B_m(\{x\})}{m!}f^{(m)}(x)dx, }[/math]

здесь [math]\displaystyle{ a \leqslant b,m }[/math] — натуральное, [math]\displaystyle{ B_k }[/math] — числа Бернулли, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — достаточно гладкая функция, чтобы иметь производные [math]\displaystyle{ f'(x),\ldots, f^{(m)}(x) }[/math], [math]\displaystyle{ B_m(t) }[/math] — многочлен Бернулли, [math]\displaystyle{ \{x\} }[/math] — дробная часть x. В случае, когда [math]\displaystyle{ R_m }[/math] мало, получаем хорошее приближение для суммы.

Многочлены Бернулли [math]\displaystyle{ B_n(x), n=0,1,2,\ldots }[/math] определяются рекуррентно как

[math]\displaystyle{ B_0(x) = 1, }[/math]

[math]\displaystyle{ B_n'(x) = nB_{n-1}(x), \ \int\limits_0^1 B_n(x)dx = 0, n\in\mathbb{N}. }[/math]

Выражение [math]\displaystyle{ B_n(\{x\})=P_n(x) }[/math] называется периодической функцией Бернулли.

Остаточный член

Остаточный член R может быть легко выражен в терминах [math]\displaystyle{ P_n(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ R=-\int\limits_a^b f^{(2p)}(x) \frac{P_{2p}(x)}{(2p)!}dx, }[/math]

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что [math]\displaystyle{ f^{(2p)} }[/math] дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:

[math]\displaystyle{ R=\int\limits_a^b f^{(2p+1)}(x) \frac{P_{(2p+1)}(x)}{(2p+1)!}dx. }[/math]

где [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math]. Можно показать, что

[math]\displaystyle{ \left| B_n(x) \right|\leqslant \frac{2n!}{(2\pi )^n}\zeta (n), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]. С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как

[math]\displaystyle{ \left|R\right|\leqslant\frac{2\zeta (2p)}{(2\pi)^{2p}}\int\limits_a^b\left|f^{(2p)}(x)\right| dx }[/math]

Доказательство

Операторные соображения

Перед доказательством удобно рассмотреть соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу) о том, почему такая формула имеет место. Пусть [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] — разностный оператор, [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] — оператор суммирования, [math]\displaystyle{ D }[/math] — оператор дифференцирования, [math]\displaystyle{ \int }[/math] — оператор интегрирования. Тогда оператор [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] обратен к [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math], а [math]\displaystyle{ D }[/math] обратен к [math]\displaystyle{ \int }[/math]. Можно выразить [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] через [math]\displaystyle{ D }[/math] с помощью формулы Тейлора:

[math]\displaystyle{ \Delta f(x)=f(x+1)-f(x) = \frac{f'(x)}{1!}+\frac{f''(x)}{2!}+\frac{f'''(x)}{3!}+\ldots = \left(\frac{D}{1!}+\frac{D^2}{2!}+\frac{D^3}{3!}+\ldots \right)f(x)=(e^D-1)f(x), }[/math]

т.е. [math]\displaystyle{ \Delta = e^D-1 }[/math] и тогда [math]\displaystyle{ \Sigma = \Delta ^{-1} = \frac{1}{e^D-1} }[/math], а поскольку [math]\displaystyle{ \frac{z}{e^z-1}=\sum\limits_{k \geqslant 0}B_k \frac{z^k}{k!} }[/math], то

[math]\displaystyle{ \sum = \frac{B_0}{D}+\frac{B_1}{1!}+\frac{B_2}{2!}D+\frac{B_3}{3!}D^2+\ldots =\int + \sum\limits_{k \geqslant 1}\frac{B_k}{k!}D^{k-1}. }[/math]

Применяя это операторное соотношение к [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], получаем искомую формулу, но без остаточного члена.

Этот вывод чисто формальный и не касается вопросов сходимости.

Доказательство с остаточным членом

Достаточно доказать формулу при [math]\displaystyle{ a=0,b=1 }[/math], поскольку мы можем любой отрезок [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math] с целыми границами разбить на отрезки длины 1 и сдвигом перевести их в [math]\displaystyle{ [0;1] }[/math]. При [math]\displaystyle{ a=0,b=1 }[/math] формула имеет вид

[math]\displaystyle{ f(0)=\int\limits_0^1 f(x)dx+\left.\sum\limits_{k=1}^m\frac{B_k}{k!}f^{(k-1)}(x)\right|_0^1+(-1)^{(m+1)}\int\limits_0^1\frac{B_m(x)}{m!}f^{(m)}(x)dx. }[/math]

Доказательство будем вести индукцией по m.

База. При [math]\displaystyle{ m=1, B_1(x)=x-\frac{1}{2} }[/math]. Интегрируя по частям, при [math]\displaystyle{ u(x)=f(x),v(x)=x-\frac{1}{2} }[/math], мы получаем:

[math]\displaystyle{ f(0)=\int\limits_0^1 f(x)dx -\frac{1}{2}(f(1)-f(0))+\int\limits_0^1\left(x-\frac{1}{2}\right)f'(x)dx. }[/math]

Шаг. Шаг индукции равносилен доказательству равенства [math]\displaystyle{ R_{m-1}=\left. \frac{B_m}{m!}f^{(m-1)}(x)\right|_0^1+R_m }[/math], то есть нужно доказать, что

[math]\displaystyle{ \left. (-1)^mB_mf^{(m-1)}(x)\right|_0^1=m\int\limits_0^1 B_{m-1}(x)f^{(m-1)}(x)dx+\int\limits_0^1 B_m(x)f^{(m)}(x)dx. }[/math]

Здесь снова применима формула интегрирования по частям при [math]\displaystyle{ u(x)=f^{(m-1)}(x),v(x)=B_m(x) }[/math]: [math]\displaystyle{ B_m'(x)=mB_{m-1}(x) }[/math], поэтому формула верна благодаря тому, что

[math]\displaystyle{ \left. (-1)^mB_mf^{(m-1)}(x)\right|_0^1= \left. B_m(x)f^{(m-1)}(x)\right|_0^1, }[/math]

то есть [math]\displaystyle{ (-1)^mB_m=B_m(1)=B_m(0) }[/math], а это верно, поскольку при нечётных m у нас [math]\displaystyle{ B_m=0, }[/math].

Применение

Сумма степеней

Вычислим сумму степеней [math]\displaystyle{ \sum\limits_{a \leqslant k \lt b}k^{m-1} }[/math]. Положим [math]\displaystyle{ f(x)=x^{m-1} }[/math], тогда [math]\displaystyle{ f^{(m)}(x)=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ R_m=0 }[/math], вычисляя интегралы, получаем:

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{a \leqslant k \lt b}k^{m-1} = \frac{1}{m}\sum\limits_{k=0}^m \binom{m}{k}B_k(b^{m-k}-a^{m-k}). }[/math]

Сумма обратных квадратов

Основная статья: Ряд обратных квадратов

Вычислить сумму

[math]\displaystyle{ 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} \cdots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}. }[/math]

Эйлер вычислил эту сумму до 20 десятичных знаков с помощью небольшого числа членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735. Это, вероятно, убедило его в том, что эта сумма равна [math]\displaystyle{ \frac{\pi ^2}{6} }[/math], что и было им доказано в том же году.

Численное интегрирование

Формула Эйлера-Маклорена также может быть использована для детального анализа ошибок численных методов интегрирования. Она объясняет высокую производительность метода трапеций на гладких периодических функциях и используется в определенных методах экстраполяции. Clenshaw–Curtis quadrature существенно изменяет переменные, выражая произвольный интеграл в терминах интегралов периодических функций, для которых приближение Эйлера-Маклорена особенно точно (в этом частном случае формула Эйлера-Маклорена берется в форме дискретного косинус-преобразования). Эта техника называется преобразованием к периодической функции.

Асимптотическое выражение для суммы

Для вычисления асимптотического выражения суммы или ряда обычно чаще всего используется следующая форма формулы Эйлера-Маклорена:

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=a}^bf(n)\sim\int\limits_a^bf(x)dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right), }[/math]

где a,b - целые. Часто формула остается справедливой и при расширении пределов [math]\displaystyle{ a\to -\infty }[/math] или [math]\displaystyle{ b\to +\infty }[/math], или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен замкнутой форме в терминах элементарных функций, даже если сумма в левой части так не может быть выражена. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены в терминах элементарных функций. Например,

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^2} \sim \underbrace{\int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{(z+k)^2}dk}_{=1/z}+\frac{1}{2z^2} +\sum\limits_{t=1}^{+\infty} \frac{B_{2t}}{z^{2t+1}}. }[/math]

Здесь левая часть равна [math]\displaystyle{ \psi^{(1)}(z) }[/math], называемая полигамма-функцией первого порядка, определяемая как [math]\displaystyle{ \psi^{(1)}(z)=\frac{d^2}{dz^2}\ln \Gamma(z) }[/math]; гамма-функция [math]\displaystyle{ \Gamma(z) }[/math] равна [math]\displaystyle{ (z-1)! }[/math], если z натуральное. Полученный результат есть асимптотическое разложение [math]\displaystyle{ \psi^{(1)}(z) }[/math]. Это выражение используется как отправной пункт для получения оценки точной ошибки формулы Стирлинга для факториала.

Аппроксимация для гармонических чисел

Полагаем [math]\displaystyle{ f(x)=x^{-1} }[/math], тогда [math]\displaystyle{ f^{(m)}(x)=(-1)^mm!x^{-m-1}=O(x^{-m-1}) }[/math] и тогда получаем

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln n + \gamma +\frac{1}{2n}-\sum\limits_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}}-\theta _{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ 0\lt \theta _{m,n} \lt 1 }[/math]. Отсюда можно относительно быстро вычислить постоянную Эйлера [math]\displaystyle{ \gamma }[/math].

Аппроксимация Стирлинга для факториала

Полагаем [math]\displaystyle{ f(x)=\ln x }[/math], тогда [math]\displaystyle{ f'(x)=x^{-1}, f^{(m+1)}(x)=(-1)^mm!x^{-m-1} }[/math] и тогда получаем

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^n \ln k = n\ln n -n + \sigma -\frac{\ln n}{2}+\sum\limits_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}- \phi _{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}}, }[/math]

где на самом деле [math]\displaystyle{ \sigma = \ln \sqrt{2\pi} }[/math]. Взяв экспоненту от обеих частей, получим формулу Стирлинга.

Литература

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
• Фихтенгольц Г. М. Глава 12. § 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера-Маклорена // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е изд.,стереотип. — М.: Наука, 1969. — Т. 2. — С. 531—551. — 800 с.