Среднее арифметико-геометрическое

Среднее арифметико-геометрическое (арифметико-геометрическое среднее, АГС) — величина, определяющаяся для двух величин [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] как предел последовательности [math]\displaystyle{ \{a_N\} }[/math], [math]\displaystyle{ \{b_N\} }[/math], где:

[math]\displaystyle{ a_0=a \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad b_0=b }[/math]

[math]\displaystyle{ a_1=\frac{a_0+b_0}{2} \quad \quad \quad \quad b_1=\sqrt{a_0b_0} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_2=\frac{a_1+b_1}{2} \quad \quad \quad \quad b_2=\sqrt{a_1b_1} }[/math]

…

[math]\displaystyle{ a_N=\frac{a_{N-1}+b_{N-1}}{2}\quad \quad b_N=\sqrt{a_{N-1}b_{N-1}} }[/math]

имеют при [math]\displaystyle{ N\to +\infty }[/math] один и тот же предел:

[math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}a_N = \lim_{N\to\infty}b_N = M(a,b) }[/math].

АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода математического маятника.

Модифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] — (общий) предел (убывающей) последовательности [math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^\infty }[/math] и (возрастающей) последовательности [math]\displaystyle{ \{y_n\}_{n=1}^\infty }[/math], где [math]\displaystyle{ x_0 = x }[/math], [math]\displaystyle{ y_0 = y }[/math] и [math]\displaystyle{ z_0 = 0 }[/math].

[math]\displaystyle{ x_{n+1} = \frac{x_n+y_n}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ y_{n+1} = z_n+\sqrt{(x_n-z_n)(y_n-z_n)} }[/math]

[math]\displaystyle{ z_{n+1} = z_n-\sqrt{(x_n-z_n)(y_n-z_n)} }[/math]

МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.

МАГС выразимо посредством АГС, такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса [math]\displaystyle{ L }[/math] с полуосями [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math]:

[math]\displaystyle{ L = \frac{2 \pi N(a^2;b^2)}{M(a;b)}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ M(x;y) }[/math] — АГС чисел [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math], а [math]\displaystyle{ N(x;y) }[/math] — МАГС чисел [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math]. Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода.

Приложения

С использованием АГС и МАГС можно вычислять значения некоторых трансцендентных функций и числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Например, по формуле Гаусса — Саламина:

[math]\displaystyle{ \pi = \frac{2 M \left(1;\sqrt{2}\right)^2}{1-\sum_{j=1}^{\infty}2^j c_j^2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ c_j = \frac 12\left(a_{j-1}-b_{j-1}\right) }[/math], [math]\displaystyle{ a_0 = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ b_0 = \sqrt{2} }[/math].

В то же время, если взять:

[math]\displaystyle{ a_0 = 1, \quad \quad \quad b_0 = \cos\alpha }[/math],

то

[math]\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}a_N = \frac{\pi}{2K(\sin\alpha)} }[/math],

где [math]\displaystyle{ K(\alpha) }[/math] есть полный эллиптический интеграл

[math]\displaystyle{ K(\alpha) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1 - \alpha^2\sin^2\theta)^{-\frac 12}d\theta }[/math].

То есть [math]\displaystyle{ \pi }[/math] выражается формулой:

[math]\displaystyle{ \pi = \frac{M(\sqrt{2})^2}{N(2) - 1} }[/math],

где [math]\displaystyle{ M(x) }[/math] — АГС 1 и [math]\displaystyle{ x }[/math], а [math]\displaystyle{ N(x) }[/math] — МАГС 1 и [math]\displaystyle{ x }[/math].

Пользуясь этим свойством, а также преобразованиями Ландена, Брент предложил первые АГС-алгоритмы для быстрого вычисления простейших трансцендентных функций ([math]\displaystyle{ e^x, \cos x, \sin x }[/math]). В дальнейшем исследование и использование АГС-алгоритмов было продолжено многими авторами