Логарифмическое распределение

Логарифмическое распределение
Обозначение	[math]\displaystyle{ \mathrm{Log}(p) }[/math]
Параметры	[math]\displaystyle{ 0 \lt p \lt 1 }[/math]
Носитель	[math]\displaystyle{ k \in \{1,2,3,\dots\} }[/math]
Функция вероятности	[math]\displaystyle{ \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;p^k}{k} }[/math]
Функция распределения	[math]\displaystyle{ 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)} }[/math]
Математическое ожидание	[math]\displaystyle{ \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p} }[/math]
Мода	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]
Дисперсия	[math]\displaystyle{ -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} }[/math]
Производящая функция моментов	[math]\displaystyle{ \frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)} }[/math]
Характеристическая функция	[math]\displaystyle{ \frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)} }[/math]

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение

Пусть распределение случайной величины [math]\displaystyle{ Y }[/math] задаётся функцией вероятности:

[math]\displaystyle{ p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = -\frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p^k}{k},\; k=1,2,3,\ldots }[/math],

где [math]\displaystyle{ 0 \lt p \lt 1 }[/math]. Тогда говорят, что [math]\displaystyle{ Y }[/math] имеет логарифмическое распределение с параметром [math]\displaystyle{ p }[/math]. Пишут: [math]\displaystyle{ Y \sim \mathrm{Log}(p) }[/math].

Функция распределения случайной величины [math]\displaystyle{ Y }[/math] кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

[math]\displaystyle{ F_Y(y) = \left\{ \begin{matrix} 0, & y \lt 1 & \\ 1 + \frac{\mathrm{B}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},\; & y \in [k,k+1),\; & k=1,2,3,\ldots \end{matrix}\right., }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathrm{B}_p }[/math] — неполная бета-функция.

Замечание

То, что функция [math]\displaystyle{ p_Y(k) }[/math] действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

[math]\displaystyle{ \ln(1-p) = -\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{p^k}{k}; 0\lt p\lt 1 }[/math],

откуда

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{\infty}p_Y(k) = 1 }[/math].

Моменты

Производящая функция моментов случайной величины [math]\displaystyle{ Y \sim \mathrm{Log}(p) }[/math] задаётся формулой

[math]\displaystyle{ M_Y(t) = \frac{\ln\left[1 - p e^t\right]}{\ln[1-p]} }[/math],

откуда

[math]\displaystyle{ \mathbb{E}[Y] = - \frac{1}{\ln(1-p)} \frac{p}{1-p} }[/math],

[math]\displaystyle{ \mathrm{D}[Y] = -p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)^2\,\ln^2(1-p)} }[/math].

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть [math]\displaystyle{ \{X_i\}_{i=1}^n }[/math] последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что [math]\displaystyle{ X_i \sim \mathrm{Log}(p), \; i=1,2,\ldots }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ N \sim \mathrm{P}(\lambda) }[/math] — Пуассоновская случайная величина. Тогда

[math]\displaystyle{ Y = \sum\limits_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{NB} }[/math].

Приложения

Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе.