Обратная функция
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции [math]\displaystyle{ f }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math], иногда также используется обозначение [math]\displaystyle{ f^{\mathrm{inv}} }[/math].
Функция, имеющая обратную, называется обратимой.
Определение
Функция [math]\displaystyle{ g:Y\to X }[/math] называется обратной к функции [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math], если выполнены следующие тождества:
- [math]\displaystyle{ f(g(y))=y }[/math] для всех [math]\displaystyle{ y\in Y; }[/math]
- [math]\displaystyle{ g(f(x))=x }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x\in X. }[/math]
Связанные определения
- Функция [math]\displaystyle{ g:Y\to X }[/math] называется левой обратной к функции [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math], если [math]\displaystyle{ g(f(x))=x }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x\in X }[/math].
- Функция [math]\displaystyle{ g:Y\to X }[/math] называется правой обратной к функции [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math], если [math]\displaystyle{ f(g(y))=y }[/math] для всех [math]\displaystyle{ y\in Y }[/math][1].
Существование
Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math] относительно [math]\displaystyle{ x }[/math]. Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к [math]\displaystyle{ f }[/math] не существует. Таким образом, функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] обратима на интервале [math]\displaystyle{ (a;b) }[/math] тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.
Для непрерывной функции [math]\displaystyle{ F(y) }[/math] выразить [math]\displaystyle{ y }[/math] из уравнения [math]\displaystyle{ x - F(y) = 0 }[/math] возможно в том и только том случае, когда функция [math]\displaystyle{ F(y) }[/math] строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, [math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math] является обратной функцией к [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] на [math]\displaystyle{ [0, +\infty) }[/math], хотя на промежутке [math]\displaystyle{ (-\infty, 0] }[/math] обратная функция другая: [math]\displaystyle{ -\sqrt{x} }[/math].
Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Пример: функция [math]\displaystyle{ y=x+D(x), }[/math] где [math]\displaystyle{ D(x) }[/math] — функция Дирихле, разрывна и не монотонна, однако обратная для неё существует[2]: [math]\displaystyle{ x=y-D(y). }[/math]
Примеры
- Если [math]\displaystyle{ F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x }[/math], где [math]\displaystyle{ a\gt 0, a \neq 1, }[/math] то [math]\displaystyle{ F^{-1}(x) = \log_a x. }[/math]
- Если [math]\displaystyle{ F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R} }[/math], где [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R} }[/math] фиксированные постоянные и [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}. }[/math]
- Если [math]\displaystyle{ F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z }[/math], то [math]\displaystyle{ F^{-1}(x)=\sqrt [n] {x}. }[/math]
Свойства
- Областью определения [math]\displaystyle{ F^{-1} }[/math] является множество [math]\displaystyle{ Y }[/math], а областью значений — множество [math]\displaystyle{ X }[/math].
- По построению имеем:
- [math]\displaystyle{ y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y) }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y }[/math],
- [math]\displaystyle{ F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X }[/math],
или короче
- [math]\displaystyle{ F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y }[/math],
- [math]\displaystyle{ F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X }[/math],
где [math]\displaystyle{ \circ }[/math] означает композицию функций, а [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y }[/math] — тождественные отображения на [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] соответственно.
- Такое отображение [math]\displaystyle{ G\colon\,Y\to X }[/math], что [math]\displaystyle{ F\circ G = \mathrm{id}_Y }[/math] («обратное справа»), называется сечением отображения [math]\displaystyle{ F }[/math].
- Функция [math]\displaystyle{ F }[/math] является обратной к [math]\displaystyle{ F^{-1} }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \left(F^{-1}\right)^{-1} = F }[/math].
- Пусть [math]\displaystyle{ F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R} }[/math] — биекция. Пусть [math]\displaystyle{ F^{-1}:Y \to X }[/math] её обратная функция. Тогда графики функций [math]\displaystyle{ y = F(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ y = F^{-1}(x) }[/math] симметричны относительно прямой [math]\displaystyle{ y = x }[/math].
- Также, если у функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] есть обратная ей [math]\displaystyle{ f^{-1} (x) }[/math], то графики этих функций будут симметричны относительно линии [math]\displaystyle{ y=x }[/math].
Теорема. Композиция любых двух обратимых функций является обратимой функцией, то есть [math]\displaystyle{ {\left(f\circ g\right)}^{-1} = g^{-1}\circ f^{-1} }[/math].
| Доказательство |
|---|
| Поскольку [math]\displaystyle{ \alpha \circ {\alpha}^{-1} = {\alpha}^{-1} \circ \alpha = e }[/math] и [math]\displaystyle{ \alpha \circ e = e \circ \alpha =\alpha }[/math] для любой обратимой функции [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], где [math]\displaystyle{ e }[/math] — тождественное преобразование, то можно записать следующие равенства.
Имеем: [math]\displaystyle{ e=e \Longleftrightarrow e = f\circ f^{-1} \Longleftrightarrow e = f\circ g \circ g^{-1} \circ f^{-1} \Longleftrightarrow e= \left(f\circ g\right) \circ \left(g^{-1} \circ f^{-1} \right). }[/math] Подействуем слева функцией [math]\displaystyle{ {\left(f\circ g\right)}^{-1} }[/math] и получим: [math]\displaystyle{ {\left(f\circ g\right)}^{-1} \circ \mid e= \left(f\circ g\right) \circ \left(g^{-1} \circ f^{-1} \right) \Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1} \circ e = {\left(f\circ g\right)}^{-1} \circ \left(f\circ g\right) \circ \left(g^{-1} \circ f^{-1} \right) \Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1} = e \circ \left(g^{-1} \circ f^{-1} \right) \Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}. }[/math] Теорема доказана. |
Это утверждение легко запомнить так: «Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше».
Разложение в степенной ряд
Обратная функция аналитической в некоторой окрестности точки [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] функции может быть представлена в виде степенного ряда:
- [math]\displaystyle{ f^{-1}(y) = \sum_{k=0}^\infty A_k(x_0) \frac{(y-f(x_0))^k}{k!}, }[/math]
где функции [math]\displaystyle{ A_k }[/math] задаются рекурсивной формулой:
- [math]\displaystyle{ A_n(x)=\begin{cases} x\;, \;n=0 \\ \frac{A_{n-1}'(x)}{f'(x)}\;,\;n\gt 0\end{cases} }[/math]
См. также
Примечания
- ↑ Куликов Л.Я. "Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов"
- ↑ Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — С. 29—30. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.