Функция Дирихле
Функция Дирихле́ — функция, принимающая единицу на рациональных значениях и ноль — на иррациональных, стандартный пример всюду разрывной функции. Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле.[1]
Определение
Символически, функция Дирихле [math]\displaystyle{ D : \R \rightarrow \{0, 1\} }[/math] определяется следующим образом:[2]
- [math]\displaystyle{ D(x) = \begin{cases} 1, & x\in \mathbb Q; \\ 0, & x \in \mathbb R \backslash \mathbb Q. \end{cases} }[/math]
Свойства
Принадлежит второму классу Бэра, то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций, но можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций[3][4]:
- [math]\displaystyle{ D(x) = \lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}\cos^{2n}(m!\pi x) }[/math].
Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода (причём существенного).[5]
Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.[6]
Не является интегрируемой в смысле Римана.[7] Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.
Вариации и обобщения
Вариацией функции Дирихле является функция Римана, называемая также «функцией Тома» (Thomae).
Примечания
- ↑ Ferreiros, 2013, с. 150.
- ↑ Фихтенгольц, 2003, с. 115.
- ↑ Dunham, 2005, с. 197.
- ↑ Рудин, 1976, с. 162 Пример 7.5.
- ↑ Зорич, 2019, с. 145.
- ↑ encyclopediamath, comment.
- ↑ Никольский, 1983, с. 357.
Литература
- Jose Ferreiros. Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — 2013. — 440 с.
- Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд.. — Физматлит, 2003. — Т. 1.
- С.М. Никольский. Курс математического анализа. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — Т. 1.
- Dirichlet-function . Encyclopedia of Mathematics.
- В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов. Курс математического анализа. — Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1940. — Т. 1.
- William Dunham. The Calculus Gallery. — Princeton University Press, 2005. — ISBN 0-691-09565-5.
- У. Рудин. Основы математического анализа. — Москва: «Мир», 1976.
- В. А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. — 10-е изд., исправленное. — Москва: МЦНМО, 2019.
Ссылки
Для улучшения этой статьи желательно: |