Измеримое множество

Измеримое множество — в математике множество, имеющее измеримую характеристическую функцию (т. е. функцию, равную 1 на этом множестве и равную 0 на дополнении этого множества).

Множество называется измеримым относительно меры [math]\displaystyle{ \mu }[/math], если оно принадлежит σ-алгебре, на которой определена [math]\displaystyle{ \mu }[/math]. Для подмножеств евклидова пространства, если мера не указывается, предполагается что [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — это мера Лебега.

Определение через внешнюю меру

Пусть имеется полукольцо S с единицей E и σ-аддитивная мера [math]\displaystyle{ \mu }[/math] на нём — это значит, что для любого множества [math]\displaystyle{ A \subset S }[/math] можно определить внешнюю меру. Тогда множество A называется измеримым относительно меры [math]\displaystyle{ \mu }[/math], если

[math]\displaystyle{ \forall \varepsilon \gt 0: \forall B \subset S : \mu^{*} (A \triangle B) \lt \varepsilon \Rightarrow B \in R(S): , }[/math]

где R(S) — минимальное кольцо, содержащее S, а [math]\displaystyle{ \triangle }[/math] — симметрическая разность множеств. При этом множество измеримых множеств будет σ-алгеброй, а ограничение внешней меры на это множество — σ-аддитивной мерой.

Свойства

• Объединение конечной или счётной совокупности измеримых множеств есть измеримое множество.

Литература

• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.