Ретракт

Ретракт топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] — подпространство [math]\displaystyle{ A }[/math] этого пространства, для которого существует ретракция [math]\displaystyle{ X }[/math] на [math]\displaystyle{ A }[/math]; то есть непрерывное отображение [math]\displaystyle{ f:X \to A }[/math], тождественное на [math]\displaystyle{ A }[/math] (то есть такое, что [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] при всех [math]\displaystyle{ x \in A }[/math]).

Ретракт топологического пространства наследует многие важные свойства самого пространства. В то же время он может быть устроен гораздо проще его самого, более обозрим, более удобен для конкретного исследования.

Примеры

• Одноточечное множество является ретрактом отрезка, прямой, плоскости и т. д.
• Всякое непустое замкнутое множество канторова совершенного множества является его ретрактом.
• [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерная сфера не является ретрактом [math]\displaystyle{ (n+1) }[/math]-мерного шара евклидова пространства, так как шар имеет нулевые группы гомологий, а сфера — ненулевую группу [math]\displaystyle{ H_n }[/math]. Это противоречит существованию ретракта, так как ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.

Связанные определения

• Подпространство [math]\displaystyle{ A }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] называется окрестностным ретрактом, если в [math]\displaystyle{ X }[/math] существует открытое подпространство, содержащее [math]\displaystyle{ A }[/math], ретрактом которого является [math]\displaystyle{ A }[/math].
• Метризуемое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] называется абсолютным ретрактом (абсолютным окрестностным ретрактом), если оно является ретрактом (соответственно окрестностным ретрактом) всякого метризуемого пространства, содержащего [math]\displaystyle{ X }[/math] в качестве замкнутого подпространства.
• Если ретракция пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] на его подпространство [math]\displaystyle{ A }[/math] гомотопна тождественному отображению пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] на себя, то [math]\displaystyle{ A }[/math] называется деформационным ретрактом пространства [math]\displaystyle{ X }[/math].
• Линейный оператор [math]\displaystyle{ P }[/math] в топологическом векторном пространстве [math]\displaystyle{ E }[/math], являющийся ретракцией, называется непрерывным проектором. Векторное подпространство [math]\displaystyle{ F }[/math] топологического векторного пространства [math]\displaystyle{ E }[/math] называется дополняемым, если существует непрерывный проектор [math]\displaystyle{ P\colon E \to F }[/math].

Свойства

• Подпространство [math]\displaystyle{ A }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] является его ретрактом в том и только в том случае, если всякое непрерывное отображение пространства [math]\displaystyle{ A }[/math] в произвольное топологического пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math].
• Если пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] — хаусдорфово, то всякий ретракт пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] замкнут в [math]\displaystyle{ X }[/math].
• Всякое свойство, сохраняющееся при переходе к непрерывному образу, равно как и любое свойство, наследуемое замкнутыми подпространствами, устойчиво относительно перехода к ретракту. В частности, при переходе к ретракту сохраняются
  • компактность,
  • связность,
  • линейная связность,
  • сепарабельность,
  • ограничение сверху на размерность,
  • паракомпактность,
  • нормальность,
  • локальная компактность,
  • локальная связность.
• Если пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет свойство неподвижной точки, т.е . для каждого непрерывного отображения [math]\displaystyle{ f:X\to X }[/math] существует точка [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math], то и каждый ретракт пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] обладает свойством неподвижной точки.
• Абсолютный окрестностный ретракт является локально стягиваемым пространством.
• Ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.

Литература

• Борсук К., Теория ретрактов, пер. с англ., М., 1971.