Асферическое пространство
Внешний вид
Асферическое пространство — топологическое пространство в котором все гомотопические группы [math]\displaystyle{ \pi_n(X) }[/math] кроме [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] тривиальны. Для симплектических многообразий значение термина немного отличается; смотри симплектически асферическое многообразие.
Свойства
- По теореме Уайтхеда[англ.], CW-комплекс асферичен тогда и только тогда, когда егу универсальное накрытие стягиваемо.
- Каждое асферическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] по определению является K(G,1) пространством, где [math]\displaystyle{ G = \pi_1(X) }[/math] является фундаментальной группой [math]\displaystyle{ X }[/math].
- Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] асферическое пространство и [math]\displaystyle{ K }[/math] — связный CW-комплекс.
- Любое непрерывное отображение из 2-мерного остова [math]\displaystyle{ K }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math] может быть продолжено до непрерывного отображения, определённого на всём [math]\displaystyle{ K }[/math].
- Для любого гомоморфизма фундаментальных групп [math]\displaystyle{ h\colon\pi_1K\to \pi_1X }[/math] существует непрерывное отображение [math]\displaystyle{ \varphi\colon K\to X }[/math], которое индуцирует [math]\displaystyle{ h }[/math].
- Более того, [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] единственно с точностью до гомотопической эквивалентности.
- Непосредственно из определения асферическое пространство является классифицирующим пространством[англ.] для его фундаментальной группы (которая считается топологической группой, когда наделена дискретной топологией).
- Прямое произведение асферических пространств асферическое.
Примеры
- Все компактные поверхности кроме сферы и проективной плоскости являются асферическими.
- Тор любой размерности асферичен.
- Любое гиперболическое многообразие асферично.
- Болле того, метрические пространства с неположительной кривизной в смысле Александрова (то есть, локально CAT(0) пространства) асферичны. В случае римановых многообразий это следует из теоремы Картана — Адамара.
- Дополнение узла в [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^3 }[/math] является асферическим по теореме о сфере
- Любое нильмногообразие асферично.
- Бесконечномерное линзовое пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^\infty/\mathbb{Z}_p }[/math] асферично.
См. также
Внешние ссылки
- Aspherical manifolds on the Manifold Atlas.