Букет пространств

Букет пространств  — пространство, полученное склейкой нескольких топологических пространств по одной точке.

Определение

Букет [math]\displaystyle{ X_1\vee X_2 }[/math] двух пространств [math]\displaystyle{ X_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ X_2 }[/math] с отмеченными точками [math]\displaystyle{ x_1\in X_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2\in X_2 }[/math]  можно определить как факторпространство несвязного объединения  [math]\displaystyle{ X_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ X_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ X_1\vee X_2 = (X_1\amalg X_2)/{\sim}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \sim }[/math] обозначает минимальное отношение эквивалентности такое, что [math]\displaystyle{ x_1\sim x_2 }[/math].

Подобным образом определяется букет произвольного числа пространств с отмеченными точками [math]\displaystyle{ \{(X_\alpha,x_\alpha)\}_{\alpha\in\mathcal{A}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \bigvee_\alpha X_\alpha = \coprod_\alpha X_\alpha/{\sim}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \sim }[/math] обозначает минимальное отношение эквивалентности такое, что [math]\displaystyle{ x_\alpha\sim x_\beta }[/math] для всех [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math].

Замечания

• Букет зависит от выбора отмеченных точек.
• Букет пространств сам естественным образом является пространством с отмеченной точкой.
• Как бинарная операция, построение букета является ассоциативным и коммутативным (с точностью до изоморфизма).

Описание через категории

Букет можно понимать как копроизведение в категории топологических пространств с отмеченной точкой. Кроме того, букет  можно рассматривать как кодекартов квадрат схемы X ← {•} → Y в категории топологических пространств, где {•} обозначает одноточечное пространство.

Свойства

• Если отмеченные точки допускают односвязные окрестности, то фундаментальная группа букета [math]\displaystyle{ X_1\vee X_2 }[/math] изоморфна свободному произведению фундаментальных групп [math]\displaystyle{ X_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ X_2 }[/math]. Это утверждение немедленно следует из теоремы ван Кампена.

См. также

• Гавайская серьга — топологическое пространство, напоминающее букет счётного числа окружностей, но отличное от него.