K(G,n) пространство
[math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] пространства (или пространства Эйленберга — Маклейна) — топологические пространства с единственной нетривиальной гомотопической группой [math]\displaystyle{ G }[/math] в размерности [math]\displaystyle{ n }[/math].
Названы в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна, которые рассматривали эти пространства в конце 1940-х годов.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] — группа и [math]\displaystyle{ n }[/math] — положительное целое число. Линейно связное топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] называется [math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] пространством, если оно имеет [math]\displaystyle{ n }[/math]-ную гомотопическую группу [math]\displaystyle{ \pi_n(X) }[/math] изоморфную [math]\displaystyle{ G }[/math], а все остальные гомотопические группы [math]\displaystyle{ X }[/math] тривиальны.
Если [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math], то необходимо предположить, что [math]\displaystyle{ G }[/math] коммутативна.
Существование и единственность
При данных [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math], пример [math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] пространства может быть построен поэтапно, как CW-комплекс, начиная с букета из [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных сфер, по одной на каждую образующую группы [math]\displaystyle{ G }[/math], и далее добавляя клетки (возможно, бесконечное число) более высоких измерений, чтобы убить все лишние гомотопические группы, начиная с размерности [math]\displaystyle{ n+1 }[/math].
Примеры
- Окружность [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^1 }[/math] является [math]\displaystyle{ K(\Z,1) }[/math] пространством.
- Бесконечномерное вещественное проективное пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{R}\mathrm{P}^{\infty} }[/math] является [math]\displaystyle{ K(\Z_2,1) }[/math] пространством.
- Сумма букет k окружностей [math]\displaystyle{ \textstyle\bigvee_{i=1}^k \mathbb{S}^1 }[/math] это [math]\displaystyle{ K(G,1) }[/math] для [math]\displaystyle{ G }[/math] — свободная группа с k образующими.
- Дополнение к любому узлу в трёхмерной сфере [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^3 }[/math] является [math]\displaystyle{ K(G,1) }[/math] пространством; это следует из асферичности узлов — теоремы Христоса Папакириакопулоса доказанной им в 1957 году.
- Любое компактное связное неположительной секционной кривины многообразие M является [math]\displaystyle{ K(\Gamma,1) }[/math], где [math]\displaystyle{ \Gamma=\pi_1(M) }[/math] является фундаментальной группой М.
- То же верно для локально CAT(0) пространств.
- Бесконечномерное комплексное проективное пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{C}\mathrm{P}^{\infty} }[/math] является [math]\displaystyle{ K(\Z,2) }[/math] пространством. Его кольцо когомологий [math]\displaystyle{ \Z[x] }[/math] а именно свободное кольцо многочленов с одной образующей [math]\displaystyle{ x }[/math] в размерности 2. Эта образующая может быть представлен в когомологиях де Рама 2-формой Фубини — Штуди.
Свойства
- [math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] пространство единствененно с точностью до слабой гомотопической эквивалентности.
- Произведение [math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] и [math]\displaystyle{ K(H,n) }[/math] пространств является [math]\displaystyle{ K(G\times H,n) }[/math] пространством.
- Предположим, что [math]\displaystyle{ X }[/math] — [math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] пространство, и [math]\displaystyle{ K }[/math] — произвольный CW-комплекс. Тогда для множества гомотопических классов отображений [math]\displaystyle{ K\to X }[/math] существует естественная биекция с группой когомологий [math]\displaystyle{ H^n(K,G) }[/math]. Это утверждение аналогично лемме Йонеды в теории категорий.
- Пространство петель пространства [math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] пространства является [math]\displaystyle{ K(G,n-1) }[/math] пространством.
См. также
- Асферическое пространство — K(G,1) пространство.
- Гомологическая сфера
Литература
- Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топология. — М.: МГУ, 1969.
- Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1945), Relations between homology and homotopy groups of spaces, Annals of Mathematics, (Second Series) Т. 46 (3): 480–509, DOI 10.2307/1969165
- Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1950), Relations between homology and homotopy groups of spaces. II, Annals of Mathematics, (Second Series) Т. 51 (3): 514–533, DOI 10.2307/1969365
- Morita, Kiiti. Čech cohomology and covering dimension for topological spaces (англ.) // Fundamenta Mathematicae : journal. — 1975. — Vol. 87. — P. 31—52. — doi:10.4064/fm-87-1-31-52.
- Papakyriakopoulos, C. D. On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1957. — Vol. 43, no. 1. — P. 169—172. — doi:10.1073/pnas.43.1.169. — PMID 16589993.
- Papakyriakopoulos, C. D. On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (англ.) // Ann. Math. : journal. — 1957. — Vol. 66, no. 1. — P. 1—26. — doi:10.2307/1970113.