Перейти к содержанию

K(G,n) пространство

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

[math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] пространства (или пространства Эйленберга — Маклейна)топологические пространства с единственной нетривиальной гомотопической группой [math]\displaystyle{ G }[/math] в размерности [math]\displaystyle{ n }[/math].

Названы в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна, которые рассматривали эти пространства в конце 1940-х годов.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] — группа и [math]\displaystyle{ n }[/math] — положительное целое число. Линейно связное топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] называется [math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] пространством, если оно имеет [math]\displaystyle{ n }[/math]-ную гомотопическую группу [math]\displaystyle{ \pi_n(X) }[/math] изоморфную [math]\displaystyle{ G }[/math], а все остальные гомотопические группы [math]\displaystyle{ X }[/math] тривиальны.

Если [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math], то необходимо предположить, что [math]\displaystyle{ G }[/math] коммутативна.

Существование и единственность

При данных [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math], пример [math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] пространства может быть построен поэтапно, как CW-комплекс, начиная с букета из [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных сфер, по одной на каждую образующую группы [math]\displaystyle{ G }[/math], и далее добавляя клетки (возможно, бесконечное число) более высоких измерений, чтобы убить все лишние гомотопические группы, начиная с размерности [math]\displaystyle{ n+1 }[/math].

Примеры

  • Окружность [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^1 }[/math] является [math]\displaystyle{ K(\Z,1) }[/math] пространством.
  • Бесконечномерное вещественное проективное пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{R}\mathrm{P}^{\infty} }[/math] является [math]\displaystyle{ K(\Z_2,1) }[/math] пространством.
  • Дополнение к любому узлу в трёхмерной сфере [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^3 }[/math] является [math]\displaystyle{ K(G,1) }[/math] пространством; это следует из асферичности узлов — теоремы Христоса Папакириакопулоса доказанной им в 1957 году.
  • Любое компактное связное неположительной секционной кривины многообразие M является [math]\displaystyle{ K(\Gamma,1) }[/math], где [math]\displaystyle{ \Gamma=\pi_1(M) }[/math] является фундаментальной группой М.
  • Бесконечномерное комплексное проективное пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{C}\mathrm{P}^{\infty} }[/math] является [math]\displaystyle{ K(\Z,2) }[/math] пространством. Его кольцо когомологий [math]\displaystyle{ \Z[x] }[/math] а именно свободное кольцо многочленов с одной образующей [math]\displaystyle{ x }[/math] в размерности 2. Эта образующая может быть представлен в когомологиях де Рама 2-формой Фубини — Штуди.

Свойства

  • Произведение [math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] и [math]\displaystyle{ K(H,n) }[/math] пространств является [math]\displaystyle{ K(G\times H,n) }[/math] пространством.
  • Предположим, что [math]\displaystyle{ X }[/math][math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] пространство, и [math]\displaystyle{ K }[/math] — произвольный CW-комплекс. Тогда для множества гомотопических классов отображений [math]\displaystyle{ K\to X }[/math] существует естественная биекция с группой когомологий [math]\displaystyle{ H^n(K,G) }[/math]. Это утверждение аналогично лемме Йонеды в теории категорий.
  • Пространство петель пространства [math]\displaystyle{ K(G,n) }[/math] пространства является [math]\displaystyle{ K(G,n-1) }[/math] пространством.

См. также

Литература

  • Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топология. — М.: МГУ, 1969.