Линейно связное пространство

Линейно связное подмножество евклидовой плоскости

Не следует путать со связным пространством.

Не следует путать с односвязным пространством.

Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Определения

• Рассмотрим отрезок числовой прямой [math]\displaystyle{ [0,1]\subset \mathbb{R} }[/math] с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}). }[/math] Тогда последнее называется линейно связным, если для любых двух точек [math]\displaystyle{ x,y\in X }[/math] найдётся непрерывное отображение [math]\displaystyle{ f:[0,1] \to X }[/math] такое, что

  [math]\displaystyle{ f(0) = x,\; f(1) = y. }[/math]

• Пусть дано подмножество [math]\displaystyle{ M \subset X }[/math]. Тогда на нём естественным образом определяется топология [math]\displaystyle{ \mathcal{T}_M }[/math], индуцированная [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]. Если пространство [math]\displaystyle{ \left(M,\;\mathcal{T}_M\right) }[/math] линейно связно, то подмножество [math]\displaystyle{ M }[/math] также называется линейно связным в [math]\displaystyle{ X }[/math].

Связанные определения

• Каждое линейно связное подмножество пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства [math]\displaystyle{ X }[/math].
  • Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно несвязным (по аналогии с вполне несвязным пространством).
• Если существует база топологии пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], состоящая из линейно связных открытых множеств, тогда топология пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] и само пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] (в этой топологии) называются локально линейно связными.

Примеры

Замыкание графика функции [math]\displaystyle{ \sin(1/x) }[/math] — пример связного, но не линейно связного множества.

• Прямая, окружность, выпуклое подмножество евклидова пространства — примеры линейно связных пространств.
• Замыкание графика функции [math]\displaystyle{ \sin\tfrac1x }[/math] при [math]\displaystyle{ x\ge 0 }[/math] — пример связного пространства, которое не является линейно связным. Это пространство имеет две компоненты линейной связности: график функции при x > 0, и отрезок [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] на оси ординат.
• Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно несвязного пространства.

Свойства

• Всякое линейно связное пространство связно. Обратное неверно.
• Конечное топологическое пространство линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.
• Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен.
• Если пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] линейно связно и [math]\displaystyle{ x,\;y\in X }[/math], то гомотопические группы [math]\displaystyle{ \pi_1(X,\;x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_1(X,\;y) }[/math] изоморфны, причем этот изоморфизм определяется однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма [math]\displaystyle{ \pi_1(X,\;x) }[/math].

Линейная связность на числовой прямой

Будем считать, что [math]\displaystyle{ X = \R }[/math], а [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] — стандартная топология числовой прямой. Тогда

• Подмножество [math]\displaystyle{ M \subset \mathbb{R} }[/math] линейно связно тогда и только тогда, когда

  [math]\displaystyle{ \forall x,\;y\in M : (x \leqslant y ) \Rightarrow \bigl([x,\;y] \subset M \bigr), }[/math]

то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.

• Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:

  [math]\displaystyle{ (a\;,b),\; [a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty,\;b),\;(-\infty,\;b],\;(a,\;+\infty),\;[a,\;+\infty), (-\infty, +\infty). }[/math]

• Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

Обобщение

Многомерным обобщением линейной связности является [math]\displaystyle{ k }[/math]-связность (связность в размерности [math]\displaystyle{ k }[/math]). Пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] называется связным в размерности [math]\displaystyle{ k }[/math], если любые два отображения [math]\displaystyle{ r }[/math]-мерной сферы [math]\displaystyle{ S^r }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math], где [math]\displaystyle{ r\leqslant k }[/math], гомотопны. В частности, [math]\displaystyle{ 0 }[/math]-связность — это то же, что линейная связность, а [math]\displaystyle{ 1 }[/math]-связность — то же, что односвязность.

Литература

• Фоменко, А. Т., Фукс, Д. Б. Курс гомотопической топологии (рус.). — М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5-02-013929-7.
• Виро, О. Я., Иванов, О. А., Нецветаев, Н. Ю., Харламов, В. М. Элементарная топология (рус.). — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.