Теорема Зейферта — ван Кампена
Теорема Зейферта — ван Кампена выражает фундаментальную группу топологического пространства через фундаментальные группы двух открытых подмножеств, покрывающих пространство.
Названа в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена.
Формулировка
Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — топологическое пространство, [math]\displaystyle{ V,U\subset X }[/math] — два линейно связных открытых множества таких, что пересечение [math]\displaystyle{ W=V\cap U }[/math] также линейно связно, и [math]\displaystyle{ X=V\cup U }[/math]. Зафиксируем точку [math]\displaystyle{ p\in W }[/math]. Заметим, что включения
- [math]\displaystyle{ W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X }[/math]
индуцируют гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп
- [math]\displaystyle{ I\colon \pi_1(W,p)\to \pi_1(U,p) }[/math], [math]\displaystyle{ J\colon \pi_1(W,p)\to \pi_1(V,p) }[/math], [math]\displaystyle{ \pi_1(U,p)\to \pi_1(X,p) }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_1(V,p)\to \pi_1(X,p) }[/math].
Согласно теореме Зейферта — ван Кампена, эти четыре гомоморфизма определяют кодекартов квадрат в категории групп, то есть
- [math]\displaystyle{ \pi_1(X,p)=\pi_1(U,p)*_{\pi_1(W,p)}\pi_1(V,p). }[/math]
Замечания
- Если даны задания групп [math]\displaystyle{ \pi_1(U,p) }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_1(V,p) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \pi_1(U,p) &= \langle u_1,\cdots,u_k \mid\alpha_1,\cdots,\alpha_l\rangle \\ \pi_1(V,p) &= \langle v_1,\cdots,v_m \mid \beta_1,\cdots,\beta_n\rangle \\ \end{align} }[/math]
- и [math]\displaystyle{ w_1,\cdots,w_s }[/math] — образующие группы [math]\displaystyle{ \pi_1(W,p) }[/math], то
- [math]\displaystyle{ \pi_1(X,p)=\left \langle u_1,\cdots,u_k, v_1,\cdots,v_m \left | \alpha_1,\cdots,\alpha_l, \beta_1,\cdots,\beta_n, I(w_1)J(w_1)^{-1},\cdots,I(w_p)J(w_p)^{-1} \right. \right \rangle. }[/math]
Следствия
- Если пересечение [math]\displaystyle{ W }[/math] односвязно, то
- [math]\displaystyle{ \pi_1(X,p)=\pi_1(U,p)*\pi_1(V,p), }[/math]
- то есть фундаментальна группа [math]\displaystyle{ X }[/math] изоморфна свободному произведению фундаментальных групп [math]\displaystyle{ U }[/math] и [math]\displaystyle{ V }[/math].
- В частности,
- [math]\displaystyle{ \pi_1(X_1\vee X_2)=\pi_1(X_1)*\pi_1(X_2), }[/math]
- для букета [math]\displaystyle{ X_1\vee X_2 }[/math] связных и локально односвязных пространств [math]\displaystyle{ X_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ X_2 }[/math].
- Пространство односвязно если оно допускает покрытие двумя односвязными открытыми множествами со связным пересечением.
- Например сферу [math]\displaystyle{ X=S^2 }[/math] можно покрыть двумя дисками [math]\displaystyle{ U=S^2\backslash \{n\} }[/math] и [math]\displaystyle{ V=S^2\backslash \{s\} }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ s }[/math] обозначают северный и южный полюсы соответственно. Заметим, что пересечение [math]\displaystyle{ W=V\cap U=S^2\backslash \{n,s\} }[/math] связно. Значит, по теореме Зейферта — ван Кампена фундаментальная группа [math]\displaystyle{ W }[/math] также тривиальна.
Вариации и обобщения
- Существует обобщение теоремы для фундаментальных группоидов. Она позволяет работать в случае если [math]\displaystyle{ W }[/math] не связно.
- Последовательность Майера — Вьеториса — аналогичная теорема для подсчёта гомологий.
Ссылки
- В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. — М.: МЦНМО, 2004. — 352 с.
- Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
- E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.