Перейти к содержанию

Теорема Зейферта — ван Кампена

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Теорема ван Кампена»)

Теорема Зейферта — ван Кампена выражает фундаментальную группу топологического пространства через фундаментальные группы двух открытых подмножеств, покрывающих пространство. 

Названа в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — топологическое пространство, [math]\displaystyle{ V,U\subset X }[/math] — два линейно связных открытых множества таких, что пересечение [math]\displaystyle{ W=V\cap U }[/math] также линейно связно, и [math]\displaystyle{ X=V\cup U }[/math]. Зафиксируем точку [math]\displaystyle{ p\in W }[/math]. Заметим, что включения

[math]\displaystyle{ W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X }[/math]

индуцируют гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп

[math]\displaystyle{ I\colon \pi_1(W,p)\to \pi_1(U,p) }[/math], [math]\displaystyle{ J\colon \pi_1(W,p)\to \pi_1(V,p) }[/math], [math]\displaystyle{ \pi_1(U,p)\to \pi_1(X,p) }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_1(V,p)\to \pi_1(X,p) }[/math].

Согласно теореме Зейферта — ван Кампена, эти четыре гомоморфизма определяют кодекартов квадрат в категории групп, то есть

[math]\displaystyle{ \pi_1(X,p)=\pi_1(U,p)*_{\pi_1(W,p)}\pi_1(V,p). }[/math]

Замечания

  • Если даны задания групп [math]\displaystyle{ \pi_1(U,p) }[/math] и [math]\displaystyle{ \pi_1(V,p) }[/math]
    [math]\displaystyle{ \begin{align} \pi_1(U,p) &= \langle u_1,\cdots,u_k \mid\alpha_1,\cdots,\alpha_l\rangle \\ \pi_1(V,p) &= \langle v_1,\cdots,v_m \mid \beta_1,\cdots,\beta_n\rangle \\ \end{align} }[/math]
и [math]\displaystyle{ w_1,\cdots,w_s }[/math] — образующие группы [math]\displaystyle{ \pi_1(W,p) }[/math], то
[math]\displaystyle{ \pi_1(X,p)=\left \langle u_1,\cdots,u_k, v_1,\cdots,v_m \left | \alpha_1,\cdots,\alpha_l, \beta_1,\cdots,\beta_n, I(w_1)J(w_1)^{-1},\cdots,I(w_p)J(w_p)^{-1} \right. \right \rangle. }[/math]

Следствия

  • Если пересечение [math]\displaystyle{ W }[/math] односвязно, то
    [math]\displaystyle{ \pi_1(X,p)=\pi_1(U,p)*\pi_1(V,p), }[/math]
то есть фундаментальна группа [math]\displaystyle{ X }[/math] изоморфна свободному произведению фундаментальных групп [math]\displaystyle{ U }[/math] и [math]\displaystyle{ V }[/math].
  • В частности,
[math]\displaystyle{ \pi_1(X_1\vee X_2)=\pi_1(X_1)*\pi_1(X_2), }[/math]
для букета [math]\displaystyle{ X_1\vee X_2 }[/math] связных и локально односвязных пространств [math]\displaystyle{ X_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ X_2 }[/math].
  • Пространство односвязно если оно допускает покрытие двумя односвязными открытыми множествами со связным пересечением.
    • Например сферу [math]\displaystyle{ X=S^2 }[/math] можно покрыть двумя дисками [math]\displaystyle{ U=S^2\backslash \{n\} }[/math] и [math]\displaystyle{ V=S^2\backslash \{s\} }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ s }[/math] обозначают северный и южный полюсы соответственно. Заметим, что пересечение [math]\displaystyle{ W=V\cap U=S^2\backslash \{n,s\} }[/math] связно. Значит, по теореме Зейферта — ван Кампена фундаментальная группа [math]\displaystyle{ W }[/math] также тривиальна.

Вариации и обобщения

Ссылки