Группоид (теория категорий)
Группо́ид в теории категорий — категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп: категория, соответствующая группе [math]\displaystyle{ G }[/math], имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента [math]\displaystyle{ g }[/math] из [math]\displaystyle{ G }[/math], композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе, при этом каждая стрелка является изоморфизмом; таким образом, множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.
Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.
Любая категория, являющаяся группой, является группоидом. Для произвольной категории [math]\displaystyle{ C }[/math] группоидом является подкатегория [math]\displaystyle{ D \hookrightarrow C }[/math], объекты которой совпадают с объектами [math]\displaystyle{ C }[/math], а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в [math]\displaystyle{ C }[/math].
Для линейно связного топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] определяется его фундаментальный группоид [math]\displaystyle{ \Pi_1(X) }[/math] как 2-категория, объектами которой являются все точки из [math]\displaystyle{ X }[/math], а стрелки из [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] в [math]\displaystyle{ y\in X }[/math] соответствуют всевозможным (геометрическим) путям из [math]\displaystyle{ x }[/math] в [math]\displaystyle{ y }[/math]:
- [math]\displaystyle{ f\colon [0;1] \to X, ~ f(0) = x,\; f(1)=y }[/math].
Две функции [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] задают один и тот же путь если существует [math]\displaystyle{ s: [0;1] \to [0;1] }[/math], так что [math]\displaystyle{ f = g \circ s }[/math] или [math]\displaystyle{ g = f \circ s }[/math]. Композиция стрелок задаётся композицией путей:
- [math]\displaystyle{ fg(t) = \begin{cases} f(2t),\; 0\leqslant t \leqslant 1/2 \\ g(2t-1),\; 1/2 \leqslant t \leqslant 1 \end{cases} }[/math].
2-морфизм из [math]\displaystyle{ f }[/math] в [math]\displaystyle{ g }[/math] — это гомотопия из [math]\displaystyle{ f }[/math] в [math]\displaystyle{ g }[/math]. Фундаментальный группоид является категорификацией фундаментальной группы. Его преимущество в том, что в пространстве не требуется выбор отмеченной точки, так что не возникает проблем с неканоничностью изоморфизма фундаментальных групп в разных точках или с пространствами, имеющими несколько компонент связности. Фундаментальная группа петель из точки [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] возникает как группа 2-изоморфных автоморфизмов объекта [math]\displaystyle{ x\in \Pi_1(X) }[/math].
Категория векторных расслоений ранга [math]\displaystyle{ n }[/math] над стягиваемым пространством с невырожденными отображениями естественно образует группоид; в связи с этим вводится понятие джерба (который является частным случаем стека), представляющего собой структуру на категории пучков заданного типа. Джербы являются геометрическими объектами, классифицируемыми группами когомологий [math]\displaystyle{ H^2(X,\mathcal{G}) }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathcal{G} }[/math] — пучок групп на [math]\displaystyle{ X }[/math]. Понятие особенно важно в случае неабелевых групп [math]\displaystyle{ \mathcal{G} }[/math].
Литература
- Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.