Отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства. Идея эквивалентности связана с тем, что в математике сущности, различающиеся в одном смысле, могут рассматриваться как эквивалентные в другом смысле. Например, конгруэнтные фигуры, расположенные по разному на плоскости, в геометрии могут рассматриваться как одинаковые. Суммы [math]\displaystyle{ 1+2 }[/math] и [math]\displaystyle{ 2+3 }[/math] различаются в обычной арифметике, а в модулярной арифметике [math]\displaystyle{ (1+2)\bmod 2 = (2+3)\bmod 2 }[/math].

Определение

Отношение эквивалентности ([math]\displaystyle{ \sim }[/math]) на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] — это бинарное отношение, для которого при любых [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math] из [math]\displaystyle{ X }[/math] выполнены следующие условия:

рефлексивность: [math]\displaystyle{ a \sim a }[/math];
симметричность: если [math]\displaystyle{ a \sim b }[/math], то [math]\displaystyle{ b \sim a }[/math];
транзитивность: если [math]\displaystyle{ a \sim b }[/math] и [math]\displaystyle{ b \sim c }[/math], то [math]\displaystyle{ a \sim c }[/math].

Запись вида «[math]\displaystyle{ a \sim b }[/math]» читается как «[math]\displaystyle{ a }[/math] эквивалентно [math]\displaystyle{ b }[/math]».

Примеры

Равенство («[math]\displaystyle{ = }[/math]»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
Сравнение по модулю: а ≡ b (mod n).
В евклидовой геометрии
- Отношение конгруэнтности («[math]\displaystyle{ \cong }[/math]»).
- Отношение подобия («[math]\displaystyle{ \sim }[/math]»).
- Отношение параллельности прямых («[math]\displaystyle{ \| }[/math]») (если считать каждую прямую параллельной самой себе).
Эквивалентность функций в математическом анализе:
Говорят, что функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] эквивалентна функции [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] при [math]\displaystyle{ x \rightarrow x_0 }[/math], если она допускает представление вида [math]\displaystyle{ f(x) = \alpha(x) g(x) }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha(x) \rightarrow 1 }[/math] при [math]\displaystyle{ x \rightarrow x_0 }[/math]. В этом случае пишут [math]\displaystyle{ f(x) \sim g(x) }[/math], напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при [math]\displaystyle{ x \rightarrow x_0 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ g(x) \ne 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ x \ne x_0 }[/math], эквивалентность функций [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] при [math]\displaystyle{ x \rightarrow x_0 }[/math], очевидно, равносильна соотношению [math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} = 1 }[/math].
Эквивалетность многочленов. Пусть [math]\displaystyle{ S }[/math] - множество многочленов с вещественным коэффициентом. Если [math]\displaystyle{ f,g \in S }[/math], то можно определить эквивалентность многочленов [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math], то есть [math]\displaystyle{ f \sim g }[/math], если [math]\displaystyle{ f' = g' }[/math], где [math]\displaystyle{ f' }[/math] - производная [math]\displaystyle{ f }[/math]. Два многочлена с одинаковой производной отличиаются константой, поэтому класс эквивалентности для многочлена [math]\displaystyle{ f }[/math] на множестве [math]\displaystyle{ S }[/math] представляет собой [math]\displaystyle{ [f] = \{f + c\ |\ c - \text{вещественное число}\} }[/math].
Эквивалентность норм на векторном пространстве.
Отношение равномощности множеств.
Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
Эквивалентность категорий.
Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.
Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.

Классы эквивалентности

Классом эквивалентности [math]\displaystyle{ [a]\subset X }[/math] элемента [math]\displaystyle{ a \in X }[/math] называется подмножество элементов, эквивалентных [math]\displaystyle{ a }[/math]; то есть,

[math]\displaystyle{ [a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\} }[/math].

Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если [math]\displaystyle{ b \in [a] }[/math], то [math]\displaystyle{ [a] = [b] }[/math].

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества [math]\displaystyle{ X }[/math] по заданному отношению [math]\displaystyle{ \sim }[/math], обозначается [math]\displaystyle{ X/{\sim} }[/math].

Для класса эквивалентности элемента [math]\displaystyle{ a }[/math] используются следующие обозначения: [math]\displaystyle{ [a] }[/math], [math]\displaystyle{ a / {\sim} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{a} }[/math].

Множество классов эквивалентности по отношению [math]\displaystyle{ \sim }[/math] является разбиением множества.

Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности [math]\displaystyle{ \sim }[/math], обозначается символом [math]\displaystyle{ X/{\sim} }[/math] и называется фактормножеством относительно [math]\displaystyle{ \sim }[/math]. При этом сюръективное отображение

[math]\displaystyle{ p\colon x \mapsto [x] }[/math]

называется естественным отображением (или канонической проекцией) [math]\displaystyle{ X }[/math] на фактормножество [math]\displaystyle{ X/{\sim} }[/math].

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] — множества, [math]\displaystyle{ f\colon X \to Y }[/math] — отображение, тогда бинарное отношение [math]\displaystyle{ x \sim y }[/math], определённое правилом

[math]\displaystyle{ x \sim y \iff f(x) = f(y), \quad x, y \in X }[/math],

является отношением эквивалентности на [math]\displaystyle{ X }[/math]. При этом отображение [math]\displaystyle{ f }[/math] индуцирует отображение [math]\displaystyle{ \overline{f}\colon X/{\sim} \to Y }[/math], определяемое правилом

[math]\displaystyle{ \overline{f}([x]) = f(x) }[/math]

или, что то же самое,

[math]\displaystyle{ (\overline{f}\circ p)(x) = f(x) }[/math].

При этом получается факторизация отображения [math]\displaystyle{ f }[/math] на сюръективное отображение [math]\displaystyle{ p }[/math] и инъективное отображение [math]\displaystyle{ \overline{f} }[/math].

См. также

Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
Эквиваленция — логическая операция.
Знак равенства.

Литература

А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М.: Сов. энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.