Равносоставленность

Равносоставленность — отношение между фигурами определённого типа (например, многогранниками). Означает, что одну фигуру можно разбить на более мелкие куски, из которых можно составить другую фигуру.

Варианты определений

В определении следует уточнить класс фигур, тип разрезаний или кусков на которые разрешается разбивать фигуру и тип преобразований пространства которые используются в при составлении другой фигуры. Например за класс фигур можно взять множество многогранников в евклидовом пространстве, куски также определить как многогранники и использовать движения пространства как преобразования.

Рассматриваются также другие группы преобразований, афинные, преобразования подобия и так далее; а также другие типы разрезаний, например вдоль жордановых дуг или разбиение на произвольные множества.

Теоремы

• По теореме Бойяи — Гервина, любой многоугольник равносоставлен любому другому многоугольнику той же площади.
  • Аналогичное утверждение не выполняется для многогранников такого же объёма; смотри Третья проблема Гильберта.
  • Однако, соты равного объёма равносоставлены в любой размерности.
• Равносоставленность многоугольников с разрезанием по жордановым дугам эквивалентна равносоставленности с разрезанием по отрезкам прямых.

• Отсутствие ограничения на разрезания приводит к парадоксальным результатам, например
  • Парадокс Хаусдорфа,
  • Парадокс удвоения шара,
  • Квадратура круга Тарского.

См. также

• Третья проблема Гильберта
• Шарнирная равносоставленность

Литература

• В. Г. Болтянский, А. Н. Савин. Равновеликие и равносоставленные фигуры. — Гостехиздат, 1956. — 64 с. — (Популярные лекции по математике, Выпуск 22).
• В. Г. Болтянский. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977. — 208 с.
• А. М. Петрунин, С. Е. Рукшин. Уникальносоставленные фигуры // Матем. просв. сер. 3. — 2006. — Т. 10. — С. 161–175.