Лагранжиан
Лагранжиа́н, фу́нкция Лагра́нжа [math]\displaystyle{ \mathcal {L} [\varphi_i] }[/math] динамической системы, является функцией обобщённых координат [math]\displaystyle{ \ \varphi_i (s) }[/math] и описывает развитие системы. Например, уравнения движения (для классической механики) в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как
- [math]\displaystyle{ \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0, }[/math]
где действие — функционал [math]\displaystyle{ \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns}, }[/math]
а [math]\displaystyle{ \varphi_i }[/math] — обобщённые координаты (например, координаты частиц или полевые переменные),[math]\displaystyle{ \ s_j }[/math] обозначает множество параметров системы, в случае классической механики — независимые пространственные координаты и время, а более широком ещё электрические или другие физические параметры. Названа в честь Жозефа Луи Лагранжа.
Уравнения, полученные посредством приравнивания нулю функциональной производной функционала по всем направлениям, идентичны обычным уравнениям Эйлера — Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевы динамические системы.
Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике (см. Лагранжева механика). Также к этой области относятся чисто математические проблемы, такие как задача нахождения уравнений геодезических и проблема Плато.
Через преобразование Лежандра лагранжиан связан с гамильтонианом (в котором за основу берутся импульсы). На гамильтониане основана гамильтонова формулировка классической механики.
Пример из классической механики
Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.
Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде
- [math]\displaystyle{ \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}), }[/math]
где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, [math]\displaystyle{ \vec{x} }[/math] — радиус-вектор частицы, [math]\displaystyle{ m }[/math] — её масса и [math]\displaystyle{ V }[/math] — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера — Лагранжа будет
- [math]\displaystyle{ m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \nabla V }[/math] — градиент.
Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу [math]\displaystyle{ F }[/math] в терминах потенциала [math]\displaystyle{ \vec{F}=- \nabla V(x) }[/math], тогда мы получим уравнение [math]\displaystyle{ \vec{F}=m\ddot{\vec{x}} }[/math], которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению [math]\displaystyle{ \vec{F}=d\vec{p}/dt }[/math], которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.
Для трёхмерной системы со сферическими координатами r, θ, φ с лагранжианом
- [math]\displaystyle{ \frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r) }[/math]
можно получить следующие уравнения Эйлера — Лагранжа:
- [math]\displaystyle{ m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0. }[/math]
Классический релятивистский лагранжиан свободной частицы
Классический (не квантовый, кроме прочего, игнорирующий спин) лагранжиан свободной частицы в теории относительности совпадает (с точностью до знака) со скоростью роста длины её мировой линии в пространстве Минковского (то есть со скоростью изменения собственного времени), умноженной на массу частицы [math]\displaystyle{ m }[/math] и на квадрат скорости света [math]\displaystyle{ c }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \mathcal {L} = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ v }[/math] — обычная трёхмерная скорость частицы.
Из этого лагранжиана следует классическая динамика релятивистских частиц (релятивистская динамика).
Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля
- В классической и квантовой теории поля делают различие между лагранжианом L, через который действие выражается как интеграл только по времени
- [math]\displaystyle{ S = \int{L \, dt}, }[/math]
и плотностью лагранжиана [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math], которую нужно интегрировать по всему четырёхмерному (а в некоторых теориях и более многомерному) пространству-времени:
- [math]\displaystyle{ S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}. }[/math]
Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана.
- В последнее время плотность лагранжиана [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Такое определение терминов, очевидно, альтернативно приведённому в начале параграфа. Нередко также при этом вводят различие между лагранжианом и функцией Лагранжа, понимая под последней интеграл от лагранжиана по пространству.
Оба определения лагранжиана можно получить как специальные случаи общего определения, в зависимости от того, включены пространственные переменные [math]\displaystyle{ \vec x }[/math] в индекс [math]\displaystyle{ i }[/math] или в параметры [math]\displaystyle{ s }[/math] в [math]\displaystyle{ \varphi_i(s) }[/math]. Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math]. Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.
Электромагнитный лагранжиан
В этом разделе речь идёт о чисто классической (не квантовой) электродинамике (квантовоэлектродинамический лагранжиан описан в следующих разделах), в особенности сказанное касается заряженного вещества, с которым взаимодействует электромагнитное поле — то есть и члена взаимодействия, и лагранжиана собственно вещества (лагранжиан же свободного электромагнитного поля в целом один и тот же в классической и квантовой теории).
Электростатика
Электростатика — физика статических (то есть постоянных) электрических полей, которые можно (приближенно или точно) описать скалярным[1] потенциалом, и достаточно медленно движущегося заряженного вещества, подчиняющегося таким образом ньютоновской механике.
В классической механике лагранжиан есть
- [math]\displaystyle{ \mathcal{L} = T - V , }[/math]
где [math]\displaystyle{ T }[/math] — кинетическая энергия и [math]\displaystyle{ V }[/math] — потенциальная энергия.
Для заряженной частицы массой [math]\displaystyle{ m }[/math] и зарядом [math]\displaystyle{ q }[/math], находящейся в электрическом (электростатическом) поле со скалярным потенциалом [math]\displaystyle{ \varphi\ }[/math], кинетическая энергия задаётся выражением
- [math]\displaystyle{ T_s = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} }[/math] — для одной частицы (для многих берётся сумма).
Энергия взаимодействия поля с заряженным веществом выглядит как
- [math]\displaystyle{ V = q\varphi\ }[/math] для одного точечного заряда (для многих суммируется),
или
- [math]\displaystyle{ V = \int \rho\varphi\ dx dy dz }[/math] — в виде для непрерывного распределения заряда.
(Тот и другой вид оказывается полезно выписать отдельно, хотя, конечно, они друг к другу сводятся, если использовать дельта-функцию). Энергия поля входит в член кинетической энергии наряду с кинетической энергией частиц[2], записываясь как:
- [math]\displaystyle{ T_f = \int {1 \over 2 \varkappa} (\nabla \varphi)^2 dx dy dz, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \varkappa }[/math] — «силовая константа», входящая в конечном итоге в закон Кулона.
Таким образом, лагранжиан электростатики, включающий в себя и кинетическую энергию (медленного) движения заряженных частиц, таков:
- [math]\displaystyle{ \mathcal{L} = T_f - V + T_s, }[/math]
(каждый член его выписан выше).
- Естественно, этот лагранжиан может быть при необходимости дополнен другими членами, описывающими неэлектрические силы, например, энергией упругости и т. д.
Проварьировав действие с описанным в этом параграфе лагранжианом[3], легко получить уравнение поля для электростатики (уравнение Пуассона):
- [math]\displaystyle{ \nabla^2 \varphi = - \varkappa \rho }[/math]
и уравнение движения частицы в электростатическом поле (в целом совпадающее с полученным в примере для классической частицы в начале статьи):
- [math]\displaystyle{ m \dot{\mathbf v} = - q \nabla \varphi. }[/math]
Электродинамика
Трёхмерная формулировка
В случае электродинамики приходится пользоваться уже не классической потенциальной энергией, а обобщённой (зависящей и от скоростей) потенциальной энергией (энергией взаимодействия):
- [math]\displaystyle{ V = q\varphi - {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}, }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ V = \int (\rho\varphi - {1 \over c} \mathbf{j} \cdot \mathbf{A}) dx dy dz, }[/math]
где [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света, [math]\displaystyle{ v }[/math] — скорость частицы, j — вектор плотности тока, А — векторный потенциал.
Энергия электромагнитного поля также должна включать по сравнению со случаем электростатики ещё и энергию магнитного поля[4]:
- [math]\displaystyle{ T_f = \int \frac{1}{2\varkappa} (E^2 - H^2) dx dy dz, }[/math]
где векторы напряжённости электрического поля E и напряжённости магнитного поля H следует считать выраженными через скалярный потенциал [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и векторный потенциал А:
- [math]\displaystyle{ \mathbf E = -\nabla\varphi - {1 \over c} \frac{\partial\mathbf A}{\partial t}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbf H = \mathbf{rot} \mathbf A. }[/math]
Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде
- [math]\displaystyle{ L = T_f - q\varphi + {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} + T_s. }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ L = T_f + \int (-\rho\varphi + \frac{\mathbf j \cdot \mathbf{A}}{c}) dx dy dz + T_s. }[/math]
Здесь в качестве лагранжиана вещества [math]\displaystyle{ T_s }[/math] можно использовать приближённое выражение для медленных частиц, как описано в параграфе об электростатике, а можно использовать (так как для электродинамики, не ограничивающейся медленными движениями, это, вообще говоря, актуально) релятивистский лагранжиан для быстрых частиц
- [math]\displaystyle{ T_s = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. }[/math]
Как и в случае электростатики, при необходимости к этому лагранжиану могут быть дописаны дополнительные члены, описывающие неэлектромагнитные силы, другие поля и т. д., что, впрочем, выходит за рамки задачи описания электромагнитного лагранжиана. Строго говоря, выписывание кинетической энергии вещества тоже выходит за эти рамки, однако мы выписали его, чтобы описание сохраняло целостность.
При варьировании действия с этим лагранжианом по φ и по [math]\displaystyle{ A_x, A_y, A_z }[/math] (независимо по каждому, используя вторую форму записи лагранжиана), получаются уравнения Максвелла, а при варьировании по координатам заряженных частиц — используя первую форму записи — уравнения движения заряженных частиц в поле, сводящемуся к:
- [math]\displaystyle{ d\mathbf p/d t = \mathbf F_L, }[/math]
где p — (трёхмерный) импульс частицы, [math]\displaystyle{ \mathbf F_L }[/math] — сила Лоренца (включая электрический член).
Однако проще и короче всего такой вывод получается в четырёхмерной формулировке (см. далее).
Четырёхмерная формулировка
В четырёхмерной формулировке плотность лагранжиана электромагнитного поля, его взаимодействия с заряженным веществом и (для полноты картины) самого вещества выглядит так (при использовании системы единиц c = 1):
- [math]\displaystyle{ L = \frac{1}{4\varkappa} F_{ik}F^{ik} + A_i j^i + L_s. }[/math]
Второй член (описывающий взаимодействие) можно переписать так, что соответствующее действие будет:
- [math]\displaystyle{ S_{int} = - \int q A_i dx^i. }[/math]
(Член [math]\displaystyle{ L_s }[/math] — обычная плотность лагранжиана быстрой — в общем случае — частицы; явно её можно не выписывать, поскольку для классической теории она не нужна, так как для неё нужен лагранжиан такой частицы, выписанный как обычно — см. выше — а не его плотность).
Здесь [math]\displaystyle{ F^{ik} }[/math] — тензор электромагнитного поля (в лагранжиан входит его свёртка — квадрат), [math]\displaystyle{ A_i }[/math] — 4-потенциал, [math]\displaystyle{ j^i }[/math] — четырёхмерная плотность тока, [math]\displaystyle{ x^i }[/math] — 4-координата точки в области, в которой проводится интегрирование; подразумевается правило Эйнштейна суммирования по повторяющемуся индексу.
Варьированием по [math]\displaystyle{ A_i }[/math] легко получаются уравнения Максвелла в четырёхмерной форме:
- [math]\displaystyle{ \partial_i F^{ik} = \varkappa j^k, }[/math]
а варьированием по [math]\displaystyle{ x^i }[/math] — уравнение движения для частицы:
- [math]\displaystyle{ d p_i/d\tau = q F_{ik}u^k,\, }[/math]
где [math]\displaystyle{ p_i = m u_i }[/math] — 4-импульс, [math]\displaystyle{ u^k }[/math] — 4-скорость.
Лагранжиан квантовой теории поля
Лагранжиан квантовой теории поля (КТП) в принципе совпадает с классическим, за исключением случаев, когда для некоторой части полевых переменных затруднительно ввести классические аналоги или корректно проинтерпретировать их; впрочем, и тогда обычно можно, хотя бы чисто формально, получить то, что называется классическими уравнениями движения, использовав вместо той или иной процедуры квантования поля с данным лагранжианом приближение стационарной фазы (стационарного действия) — то есть найдя классическое приближение описания системы.
Таким образом, лагранжианы, выписанные ниже, не являются в определённом смысле специфичными только для квантовой теории соответствующих полей; тем не менее они используются в КТП, представляя в определённом отношении её основу.
Лагранжиан квантовой электродинамики
Плотность лагранжиана для квантовой электродинамики (КЭД):
- [math]\displaystyle{ \mathcal{L} = \bar \psi (i \not \!\, D - m) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \psi }[/math] — спинор (четырёхмерный), [math]\displaystyle{ \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 }[/math] — его дираковское сопряжение, [math]\displaystyle{ F^{\mu\nu} }[/math] — тензор электромагнитного поля, D — калибровочная ковариантная производная и [math]\displaystyle{ \not \!\, D }[/math] — обозначение Фейнмана для [math]\displaystyle{ \gamma^\sigma D_\sigma }[/math].
Лагранжиан Дирака
Плотность лагранжиана для дираковского поля
- [math]\displaystyle{ \mathcal{L} = \bar \psi (i \not \! \; \partial - m) \psi. }[/math]
Лагранжиан квантовой хромодинамики
Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики[5]
- [math]\displaystyle{ \mathcal{L} = -{1\over 4} F^\alpha {}_{\mu\nu} F_\alpha {}^{\mu\nu} - \sum_n \bar \psi_n (\not\!\, D_\mu + m_n) \psi_n, }[/math]
где [math]\displaystyle{ D_\mu }[/math] — калибровочная ковариантная производная КХД и [math]\displaystyle{ F^\alpha {}_{\mu\nu} }[/math] — тензор напряжённости глюонного поля.
Необходимое и достаточное условие существования и единственности уравнения Лагранжа
В классической механике необходимым и достаточным условием существования и единственности уравнения Лагранжа является [math]\displaystyle{ det \left \| \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{j}\partial \dot{q}_{k}} \right \|_{j,k=1}^{n} \neq 0 }[/math][6].
Ссылки
- Christoph Schiller. Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain (2005)
- David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)
Примечания
- ↑ Здесь подразумевается, конечно же, скаляр обычного трёхмерного пространства, а не инвариант преобразований Лоренца.
- ↑ Это определяется знаком, который должен получиться в итоге в уравнениях движения и тем, что из определённых соображений энергию поля хочется иметь положительной. Всё это может быть более или менее строго обосновано, но здесь мы ограничимся только что изложенными простыми соображениями.
- ↑ Для получения уравнения поля удобнее использовать лагранжиан взаимодействия, выраженный через [math]\displaystyle{ \rho }[/math], для получения уравнения движения частицы в поле — через положение точечной частицы (через [math]\displaystyle{ q\varphi }[/math]).
- ↑ Вопрос о знаках, как это было сделано выше и для электростатического поля, не будем здесь подробно обсуждать, хотя достаточно строгое обоснование и существует, ограничившись опять замечанием, что именно такие знаки дают нужные знаки в итоговых уравнениях.
- ↑ Quantum Chromodynamics (QCD) . Дата обращения: 21 февраля 2006. Архивировано 9 июля 2011 года.
- ↑ Айзерман М. А. Классическая механика. - М., Наука, 1980. - с. 165
Литература
- Исторические публикации
- Ж. Лагранж. Аналитическая механика. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — 594 с.
- Курсы теоретической физики
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — М.: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4.