Функция Гамильтона

Для термина «Гамильтониан» см. также другие значения.

Эта статья включает описание термина «полная энергия»

Функция Га́мильтона, или гамильтониа́н — функция, зависящая от обобщённых координат, импульсов и, возможно, времени, описывающая динамику механической системы в гамильтоновой формулировке классической механики.

[math]\displaystyle{ H(p,q), }[/math]

или

[math]\displaystyle{ H(p,q,t), }[/math]

где [math]\displaystyle{ p = (p_1, p_2, ..., p_n) }[/math] — полный набор обобщённых импульсов, описывающий данную систему ([math]\displaystyle{ n }[/math] — число степеней свободы),

[math]\displaystyle{ q = (q_1, q_2, ..., q_n) }[/math] — полный набор обобщённых координат.

В квантовой механике и квантовой теории поля гамильтониан, или оператор Гамильтона, определяющий временну́ю эволюцию системы, соответствует функции Гамильтона в классической физике и является её обобщением, в принципе достаточно прямым, однако в ряде случаев не совсем тривиальным (в принципе квантовый гамильтониан может быть получен просто подстановкой квантовых операторов координат и импульсов в функцию Гамильтона, однако из-за того, что такие операторы не всегда коммутируют, может быть не сразу очевиден выбор правильного варианта из возникающих вследствие этого).

В формализме фейнмановского интеграла по траекториям в квантовой механике и квантовой теории поля используется и просто классическая функция Гамильтона.

Функция Гамильтона участвует в гамильтоновой форме принципа наименьшего (стационарного) действия, канонических уравнениях Гамильтона (одной из возможных форм уравнения движения в классической механике) и уравнении Гамильтона — Якоби, являясь основой гамильтоновой формулировки механики.

Для консервативных систем функция Гамильтона представляет полную энергию (выраженную как функция координат и импульсов), то есть — в классическом смысле — сумму кинетической и потенциальной энергий системы.

Функция Гамильтона связана с лагранжианом через преобразование Лежандра следующим соотношением:

[math]\displaystyle{ H=\vec p \cdot \dot{\vec q} - L, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \vec p }[/math] — обобщённый импульс частицы, а [math]\displaystyle{ \dot {\vec q} }[/math] — её обобщённая скорость.

Физический смысл

Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) [math]\displaystyle{ \omega }[/math] через волновой вектор [math]\displaystyle{ \mathbf k }[/math] для каждой точки [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math] пространства:

[math]\displaystyle{ \omega = H(\mathbf k,\mathbf x). }[/math]

Так, в классическом приближении (при больших частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math]) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых [math]\displaystyle{ (\dot q_i = \partial H/ \partial p_i) }[/math] интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие [math]\displaystyle{ (\dot p_i = - \partial H/ \partial q_i) }[/math] вполне естественно — как изменение, в частности поворот, волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определённого типа.

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика, том 1. (Под ред. Л. П. Питаевского) . 4-е изд.— 2007.— 224 с., 2 000 экз., ISBN 978-5-9221-0819-5