Волна де Бройля
Волна́ де Бро́йля — волна вероятности (или волна амплитуды вероятности[1]), определяющая плотность вероятности обнаружения объекта в заданном интервале конфигурационного пространства. В соответствии с принятой терминологией говорят, что волны де Бройля связаны с любыми частицами и отражают их волновую природу.
Идея о волнах, связанных не только с квантами света, но и массивными частицами, предложена Луи де Бройлем в 1923—1924 годах[2] и называется гипотезой де Бройля. Хотя трактовка квадрата модуля амплитуды волны как плотности вероятности в конфигурационном пространстве принадлежит Максу Борну[3], по традиции и в знак признания заслуг французского физика говорят о волнах де Бройля.
Идея волн де Бройля полезна для приблизительных выводов о масштабах проявления волновых свойств частиц, но не отражает всей физической реальности и потому не лежит в основе математического аппарата квантовой механики. Вместо дебройлевских волн эту роль в квантовой механике выполняет волновая функция, а в квантовой теории поля — полевые операторы.
Корпускулярно-волновой дуализм фотонов и массивных частиц
Физика атомов, молекул и их коллективов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Квантовые эффекты являются существенными, если характерное значение действия (произведение характерной энергии на характерное время или характерного импульса на характерное расстояние) становится сравнимым с [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] (постоянная Планка). Если частицы движутся со скоростями много меньше, чем скорость света в вакууме [math]\displaystyle{ c }[/math], то применяется нерелятивистская квантовая механика; при скоростях, близких к [math]\displaystyle{ c }[/math], — релятивистская квантовая механика.
В основе квантовой механики лежат представления Планка о дискретном характере изменения энергии атомов, Эйнштейна о фотонах, данные о квантованности некоторых физических величин (например, импульса и энергии), характеризующих в определённых условиях состояния частиц микромира. В то же время было твёрдо установлено, что свет проявляет свойства не только потока частиц, но и волны, то есть обладает корпускулярно-волновым дуализмом.
Де Бройль выдвинул идею о том, что волновой характер распространения, установленный для фотонов, имеет универсальный характер. Он должен проявляться для любых частиц, обладающих импульсом [math]\displaystyle{ p }[/math]. Все частицы, имеющие конечный импульс [math]\displaystyle{ p }[/math], обладают волновыми свойствами, в частности, подвержены интерференции и дифракции[4].
Природа волн де Бройля
Волны де Бройля имеют специфическую природу, не имеющую аналогии среди волн, изучаемых в классической физике: квадрат амплитуды волны де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Дифракционные картины, которые наблюдаются в опытах, являются проявлением статистической закономерности, согласно которой частицы попадают в определённые места в приёмниках — туда, где интенсивность волны де Бройля оказывается наибольшей. Частицы не обнаруживаются в тех местах, где, согласно статистической интерпретации, квадрат модуля амплитуды «волны вероятности» обращается в нуль.

Формулы де Бройля
Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], связанной с движущейся частицей вещества, от импульса [math]\displaystyle{ p }[/math] частицы, а полной энергии [math]\displaystyle{ E }[/math] — от частоты [math]\displaystyle{ \nu }[/math], в виде релятивистски инвариантных соотношений:
- [math]\displaystyle{ \lambda=\frac{h}{p}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ E = h \nu, }[/math]
где [math]\displaystyle{ h }[/math] — постоянная Планка.
Другой вид формул де Бройля:
- [math]\displaystyle{ \mathbf{p}=\frac{h}{2\pi}\mathbf{k}=\hbar\mathbf{k}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ E = \hbar \omega, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \mathbf{k}=\frac{2\pi}{\lambda}\mathbf{n} }[/math] — волновой вектор, модуль которого [math]\displaystyle{ k=\frac{2\pi}{\lambda} }[/math] — волновое число — есть число длин волн, укладывающихся на [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] единицах длины, [math]\displaystyle{ \omega=2\pi\nu }[/math] — циклическая частота, [math]\displaystyle{ \mathbf{n} }[/math] — единичный вектор в направлении распространения волны, [math]\displaystyle{ \hbar=\frac{h}{2\pi}\approx1{,}05\cdot 10^{-34} }[/math] Дж·с.
Полная энергия [math]\displaystyle{ E = E_K + m_0 c^2 }[/math] включает кинетическую энергию [math]\displaystyle{ E_K }[/math] и энергию покоя [math]\displaystyle{ E_0 = m_0 c^2 }[/math], в терминах которых
[math]\displaystyle{ \lambda=\frac{h}{p}= hc [E_K(E_K+2m_0 c^2)]^{-1/2}, }[/math]
где hc=1240 эВ×нм, и значения [math]\displaystyle{ m_0 c^2 }[/math] равны 0 для фотона и других безмассовых частиц, [math]\displaystyle{ m_e c^2 = }[/math]511 кэВ для электрона, и [math]\displaystyle{ m_p c^2 = }[/math]938 МэВ для протона.
Нерелятивистский предел
У частиц с дорелятивистскими энергиями, движущимися со скоростью [math]\displaystyle{ v\ll c }[/math] (скорости света), для импульса справедлива формула [math]\displaystyle{ p=mv }[/math] (где [math]\displaystyle{ m }[/math] — масса частицы), для кинетической энергии [math]\displaystyle{ W=E-mc^2 }[/math] — формула [math]\displaystyle{ W=mv^2/2 }[/math]. Тогда длина волны де Бройля
- [math]\displaystyle{ \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} = \frac{h}{\sqrt{2mW}}. }[/math]
В частности, для электрона, который ускорился в электрическом поле с разностью потенциалов [math]\displaystyle{ \Delta\varphi }[/math] вольт
- [math]\displaystyle{ \lambda=\frac{12{,}25}{\sqrt{\Delta\varphi}}\;\AA. }[/math]
Ультрарелятивистский предел
Для частиц в ультрарелятивистском случае, когда их скорость близка к скорости света, [math]\displaystyle{ v \rightarrow c, E \gg m c^2 }[/math], длины волны равна [math]\displaystyle{ \lambda = \frac{h c}{E} }[/math][5].
Формулы де Бройля для четырёхвекторов
В четырёхмерном виде формулы де Бройля связывают четырёхвектор энергии-импульса [math]\displaystyle{ p^\mu }[/math] с четырёхмерным волновым вектором и имеют вид[6]:
- [math]\displaystyle{ p^\mu= \begin{pmatrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix} = \hbar \begin{pmatrix} \omega /c \\ k_x \\ k_y \\ k_z \end{pmatrix}. }[/math]
Энергия и импульс любого материального объекта связаны соотношением:
- [math]\displaystyle{ \frac{E^{2}}{c^{2}} = m^{2} c^{2} + p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}. }[/math]
Аналогичным соотношением связаны частота и волновой вектор[6]:
- [math]\displaystyle{ \frac{\omega^{2}}{c^{2}} = \frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^2} + k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \frac{mc}{\hbar} }[/math] — комптоновское волновое число, обратное приведенной комптоновской длине волны [math]\displaystyle{ \frac{\lambda_C}{2\pi}. }[/math]
Фазовая и групповая скорость волн де Бройля
Фазовая скорость волн де Бройля свободной частицы
- [math]\displaystyle{ v_f=\frac{\omega}{k}=\frac{E}{p}=\frac{mc^2}{mv}=\frac{c^2}{v}\simeq\frac{c^2}{h}m\lambda=\frac{c^2p^2}{2Wh}\lambda. }[/math]
Последние соотношения — нерелятивистское приближение. Зависимость фазовой скорости дебройлевских волн от длины волны указывает на то, что эти волны испытывают дисперсию. Фазовая скорость [math]\displaystyle{ v_f }[/math] волны де Бройля хотя и больше скорости света, но относится к числу величин, принципиально неспособных переносить информацию (является чисто математическим объектом).
Групповая скорость волны де Бройля [math]\displaystyle{ u }[/math] равна скорости частицы [math]\displaystyle{ v }[/math]:
- [math]\displaystyle{ u=\frac{d\omega}{dk}=\frac{dE}{dp}=v }[/math].
Иллюстрация

Для частицы массой [math]\displaystyle{ m }[/math], покоящейся в инерциальной системе отсчёта [math]\displaystyle{ x',ct' }[/math] псевдоевклидовой плоскости 4-пространства Минковского, движущейся со скоростью [math]\displaystyle{ V }[/math] относительно условно неподвижной системы [math]\displaystyle{ x,ct }[/math] вдоль положительного направления оси [math]\displaystyle{ x }[/math], формула квантовомеханической амплитуды вероятности обнаружить её в каком-либо месте пространства всюду одна и та же. Однако фаза — есть функция времени:
- [math]\displaystyle{ ae^{(-i\omega_0) t'} }[/math],[7]
где: [math]\displaystyle{ \omega_0=\frac{E_0}{\hbar}=\frac{mc^2}{\hbar}=\frac{2\pi\cdot c}{\lambda_C} }[/math];
Здесь: [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] — частота изменения фазы;
- [math]\displaystyle{ E_0 }[/math] — энергия покоящейся частицы;
- [math]\displaystyle{ \hbar=\frac{h}{2\pi} }[/math] — приведённая постоянная Планка:
- [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света;
- [math]\displaystyle{ \lambda_C=\frac{h}{mc} }[/math] — комптоновская длина волны покоящейся частицы массой [math]\displaystyle{ m }[/math][8].
На рисунке обозначено:
[math]\displaystyle{ \lambda_C=O'A_1 }[/math]. Линиями равных фаз в этой системе будут линии одновременности, проведённые через точки временной оси параллельно пространственной оси [math]\displaystyle{ x' }[/math]. Эти линии представляют собой плоскую волну, которая описывается волновой функцией
- [math]\displaystyle{ \psi_{(x',t')}=ae^{(-i\omega_0)t'}=ae^{(-i/\hbar)E_0 t'} }[/math];
На Рисунке 1 показаны только две линии равных фаз, проведённые через точки [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ A_2 }[/math], в которых фазы амплитуды вероятности имеют то же значение, что и в точке [math]\displaystyle{ O' }[/math], принятой за начальное. Для нештрихованной системы отсчёта [math]\displaystyle{ x,ct }[/math] фаза амплитуды вероятности обнаружить частицу в какой-либо точке является уже функцией не только времени, но и пространства[7].
Линии равных фаз системы [math]\displaystyle{ x',ct' }[/math] пересекают как временную, так и пространственную оси системы [math]\displaystyle{ x,ct }[/math], разбивая при этом каждую из них на равные отрезки.
Фаза амплитуды вероятности является инвариантной величиной. Это означает, если в штрихованной системе в пространственно-временных точках [math]\displaystyle{ C_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ B_1 }[/math] фаза отличается на целое число [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] относительно фазы в точке [math]\displaystyle{ O' }[/math], то и в нештрихованной системе в этих точках фазы должны отличаться на то же число [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math].[8] Отсюда следует, что отрезки по осям [math]\displaystyle{ ct }[/math] и [math]\displaystyle{ x }[/math] представляют собой длины волн как во времени, так и в пространстве.
Согласно релятивистской концепции, применяя преобразования Лоренца,[9] из рисунка следует:
- [math]\displaystyle{ OC_1=O'A_1\sqrt{1-(V/c)^2}=cT=\lambda_C\sqrt{1-(V/c)^2} }[/math],
где: [math]\displaystyle{ T }[/math] — период изменения фазы в нештрихованной системе. Из последнего равенства этой цепочки равенств следует:
- [math]\displaystyle{ E=\hbar\omega }[/math],
где: [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — круговая частота изменения фазы в системе [math]\displaystyle{ x,ct }[/math];
- [math]\displaystyle{ E=mc^2/\sqrt{1-(v/c)^2} }[/math] — полная энергия частицы в системе отсчета [math]\displaystyle{ x,ct }[/math];
Здесь учтено, что скорость частицы [math]\displaystyle{ v }[/math] равна скорости [math]\displaystyle{ V }[/math] перемещения штрихованной системы, в которой эта частица покоится.
Из треугольника [math]\displaystyle{ OB_1C_1 }[/math], принимая во внимание, что [math]\displaystyle{ \operatorname{tg\alpha}=\frac{V}{c} }[/math] и учитывая, что [math]\displaystyle{ v=V }[/math], получим:
- [math]\displaystyle{ B_1O=\frac{\lambda_C\sqrt{1-(v/c)^2}}{\operatorname{tg\alpha}}=\frac{h}{p}=\lambda }[/math],
где: [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — длина волны де Бройля;
- [math]\displaystyle{ p }[/math] — импульс частицы.
Выражение для фазы амплитуды вероятности волны де Бройля в системе [math]\displaystyle{ x,ct }[/math] можно получить, используя преобразование Лоренца для времени при переходе из штрихованной системы к нештрихованной:
- [math]\displaystyle{ t'=\frac{t-(V/c^2)x}{\sqrt{1-(V/c)^2}} }[/math];
Заменив [math]\displaystyle{ t' }[/math] на [math]\displaystyle{ t }[/math] в выражении для амплитуды в штрихованной системе отсчета, получим:
- [math]\displaystyle{ ae^{(-i/\hbar)E_0t'}=ae^{-{(i/\hbar)\left[\left(E_0t/\sqrt{1-(V/c)^2}\right)-\left(E_0Vx/{c^2\sqrt{1-(V/c)^2}}\right)\right]}} }[/math];
Отождествляя полную энергию частицы [math]\displaystyle{ E=E_0/\sqrt{1-(v/c)^2} }[/math] и её импульс [math]\displaystyle{ p=E_0v/c^2\sqrt{1-(v/c^2} }[/math] с полученным при преобразовании выражением для фазы, учитывая, что [math]\displaystyle{ v=V }[/math], формула амплитуды волны де Бройля запишется так:
- [math]\displaystyle{ ae^{-{(i/\hbar)\left[Et-px\right]}} }[/math];[7]
Фазовая скорость волны, то есть скорость, с которой перемещаются точки волны с постоянной фазой (например, на Рисунке 1 перемещение одноимённой фазы из точки [math]\displaystyle{ B_1 }[/math] в точку [math]\displaystyle{ C_1 }[/math]) определяется непосредственно из треугольника [math]\displaystyle{ OB_1C_1 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ v_f=\frac{c^2}{v} }[/math];
Монохроматическая волна де Бройля характеризуется соотношениями [math]\displaystyle{ \Delta x=\infty }[/math] и [math]\displaystyle{ \Delta p=0 }[/math]. То есть, такой волновой объект имеет вполне определённый импульс и совершенно неопределённую область локации.[10] Именно это и содержится в утверждении, когда говорится, что существует одинаковая амплитуда вероятности обнаружить частицу во всех точках пространства.
Явление корпускулярно-волнового дуализма присуще всем видам материи, но в разной степени. Частице массой [math]\displaystyle{ m=10^{-5} }[/math] г, движущейся со скоростью [math]\displaystyle{ v=1 }[/math] м/с, соответствует волна де Бройля с длиной волны [math]\displaystyle{ \lambda=6{,}6\cdot10^{-22} }[/math] см. Такие длины волн лежат за пределами доступной наблюдению области. Поэтому в механике макроскопических тел волновые свойства несущественны и не учитываются.[8]
Зависимость длины волны от скорости частицы
Механизм изменения длины волны де Бройля в зависимости от изменения скорости частицы заключается в следующем.
При возрастании скорости перемещения штрихованной системы, которая является собственной для покоящейся в ней частицы, координатные оси этой системы словно лезвия ножниц, вращаясь относительно начала [math]\displaystyle{ O' }[/math], поворачиваются в сторону положения биссектрисы квадранта, образованного положительными направлениями осей нештрихованной системы.[9] Точка [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] (Рисунок 1) пересечения временной оси [math]\displaystyle{ ct' }[/math] с инвариантной (единичной) гиперболой[9] [math]\displaystyle{ \lambda_C^2=c^2t^2-x^2 }[/math], которая определяет длину [math]\displaystyle{ \lambda_C }[/math] в штрихованной системе, неограниченно приближается к биссектрисе квадранта, принимая бесконечные положительные значения координатных осей [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ ct }[/math]. При этом, линия одновременности (линия равных фаз), проведенная через эту точку, стремится к положению биссектрисы, и точка [math]\displaystyle{ B_1 }[/math] пересечения этой линии с осью [math]\displaystyle{ x }[/math] устремляется к началу O. То есть, при [math]\displaystyle{ v=V\rightarrow c }[/math] длина волны [math]\displaystyle{ \lambda\rightarrow 0 }[/math], а импульс частицы [math]\displaystyle{ p=mv/\sqrt{1-(v/c)^2}\rightarrow \infty }[/math].
При уменьшении скорости перемещения собственной системы отсчёта частицы — координатные оси этой системы опять же, словно лезвия ножниц, раздвигаются относительно положения биссектрисы квадранта. Угол [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] наклона оси [math]\displaystyle{ ct' }[/math] к оси [math]\displaystyle{ ct }[/math] и оси [math]\displaystyle{ x' }[/math] к оси [math]\displaystyle{ x }[/math] стремится к нулю. Точка [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] пересечения единичной гиперболы с осью времени штрихованной системы приближается к точке [math]\displaystyle{ A }[/math]. При этом, линия равных фаз штрихованной системы, проведённая через точку [math]\displaystyle{ A_1 }[/math], стремится к параллельности с осью [math]\displaystyle{ x }[/math], а точка [math]\displaystyle{ B_1 }[/math] пересечения этой линии с осью [math]\displaystyle{ x }[/math] устремляется в бесконечность в сторону отрицательных значений оси [math]\displaystyle{ x }[/math]. Это означает, что при [math]\displaystyle{ v=V\rightarrow 0 }[/math] длина волны [math]\displaystyle{ \lambda\rightarrow\infty }[/math], а импульс частицы [math]\displaystyle{ p\rightarrow 0 }[/math]. В этом предельном случае фаза амплитуды вероятности будет уже функцией только времени. И параметром волны будет комптоновская длина волны [math]\displaystyle{ \lambda_C=OA }[/math].
Подытоживая результаты обоих предельных случаев, когда произведение длины волны и импульса частицы принимает вид неопределённостей типов [math]\displaystyle{ (0 \cdot \infty) }[/math] и [math]\displaystyle{ (\infty\cdot 0) }[/math] можно утверждать: [math]\displaystyle{ \lambda\cdot p=const }[/math], что находит своё подтверждение в соотношении де Бройля: [math]\displaystyle{ \lambda=\frac{h}{p} }[/math].
Экспериментальная проверка
Гипотеза де Бройля объясняет ряд экспериментов, необъяснимых в рамках классической физики[11]:
- Опыт Дэвиссона — Джермера по дифракции электронов на кристаллах никеля.
- Опыт Дж. П. Томсона по дифракции электронов на металлической фольге.
- Эффект Рамзауэра аномального уменьшения сечения рассеяния электронов малых энергий атомами аргона.
- Дифракция нейтронов на кристаллах (опыты Г. Хальбана, П. Прайсверка и Д. Митчелла).
Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным. Впрочем, наблюдать квантовые эффекты можно и в макроскопическом масштабе, особенно ярким примером этому служат сверхпроводимость и сверхтекучесть.
См. также
Примечания
- ↑ Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4, 1976, с. 221–222, 412.
- ↑ Louis de Broglie «The Reinterpretation of Wave Mechanics» Foundations of Physics, Vol. 1 No. 1 (1970) (недоступная ссылка)
- ↑ М. Борн. Размышления и воспоминания физика: Сборник статей / Отв. ред. Э. И. Чудинов. — М.: Наука, 1977. — С. 16. — 280 с.
- ↑ Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — С. 17-18
- ↑ Волна де Бройля — статья из Физической энциклопедии
- ↑ 6,0 6,1 Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.: ОГИЗ, 1947. — С. 14
- ↑ 7,0 7,1 7,2 Фейнман Ричард Филлипс. Том 3. Квантовая механика Архивная копия от 2 марта 2021 на Wayback Machine Гл. 5. § 1, § 2.
- ↑ 8,0 8,1 8,2 Вихман Э. Квантовая физика. — М.: Наука, 1977. — С. 156—157, 185, 187—188. — 415 с.
- ↑ 9,0 9,1 9,2 Угаров В. А. Специальная теория относительности. - М.: Наука, 1977, - С. 60 - 62, 64 - 65, 121 - 124. - 384 с.
- ↑ Г. А. Зисман, О. М. Тодес. Курс общей физики, том III. — М.: Наука, 1972. — С. 282—283. — 496 с.
- ↑ Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Раздел 2.2. Экспериментальные подтверждения гипотезы де Бройля // Квантовая физика. — М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — Т. 5. — 496 с. — 3000 экз. — ISBN 5-7038-2797-3. Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 25 декабря 2009. Архивировано 26 апреля 2009 года.
Литература
- Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4. — 3-е изд. — М.: Мир, 1976. — 496 с.
- www.e-libra.su/read/464761-tom-3-kvantovaya-mehanika.html# — Фейнман Ричард Филлипс. Том 3. Квантовая механика читать онлайн. Гл. 5. § 1, § 2.
Ссылки
- Волны де Бройля / лекция «Элементы квантовой механики»
- Соотношение де Бройля // «Элементы»
В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |