Расстояние
В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |
объектов, lg м
тумане — 5·10-6
Земли — 1,5·1011
звезды альфа Центавра — 4·1016
туманности Андромеды — 1022
Расстоя́ние, в широком смысле, степень (мера) удалённости объектов друг от друга.
Расстояние является фундаментальным понятием геометрии. Термин часто используется в других науках и дисциплинах: астрономия, география, геодезия, навигация и других. В различных дисциплинах как термин имеет различное определение, представленное ниже.
Расстояние в математике
Расстояние в алгебре
Содержание термина «расстояние» в алгебре связано с понятием метрики и метрического пространства.
Метрическим пространством называется множество X, если дано такое отображение, называемое метрикой, X² в множество неотрицательных чисел, что для любых элементов a, b, c множества X выполняются следующие аксиомы, называемые аксиомами Фреше:
1) [math]\displaystyle{ \rho(a; b)\geq0 }[/math], притом равенство выполняется тогда и только тогда, когда элементы a и b равны;
2) [math]\displaystyle{ \rho(a; b)=\rho(b; a) }[/math];
3) [math]\displaystyle{ \rho(a; b)\leq\rho(a; c) + \rho(c; b) }[/math].
Для третьей аксиомы частным случаем является неравенство треугольника.
Расстояние в множестве действительных чисел
Введение метрики
Для множества всех действительных чисел расстояние от числа a до числа b математики считают число [math]\displaystyle{ |a-b| }[/math].
Легко убедиться, что множество действительных чисел с данной метрикой будет являться метрическим пространством.
Доказательство
Первое условие выполняется, так как модуль любого действительного числа из определения - число неотрицательное, притом модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда выражение под модулем равно нулю, откуда, если равенство выполняется, то числа равны.
Второе свойство верно, так как из свойств модуля числа: [math]\displaystyle{ |a-b|=|b-a| }[/math].
Третье свойство выполняется, так как само свойство равносильно [math]\displaystyle{ |a-b|\leq|a-c| + |c-b| }[/math], но [math]\displaystyle{ (a-c) + (c-b) = a-b }[/math], а модуль суммы всегда не превосходит суммы модулей.
Расстояние в множестве пар действительных чисел
Из основных метрик в множестве пар действительных чисел (а в графической интерпретации - множестве всех точек плоскости) выделяют две: метрику Декарта и метрику Евклида.
Метрика Декарта
Введение метрики
Для множества пар действительных чисел дана метрика Декарта:
[math]\displaystyle{ \rho((a; b); (c; d)) = |a-c| + |b-d| }[/math].
Убедимся, что множество пар действительных чисел (R²) с введенной метрикой Декарта является метрическим пространством.
Доказательство
Первое свойство очевидно выполняется, так как сумма модулей, каждый из которых является неотрицательным числом - также число неотрицательное. Притом равенство выполняется тогда и только тогда, когда оба выражения под модулем равны нулю, но тогда и рассматриваемые элементы-пары множества также равны.
Второе свойство выполняется, так как [math]\displaystyle{ \rho((a; b); (c; d)) = |a-c| + |b-d| = |c-a| + |d-b|=\rho((c; d); (a; b)) }[/math].
Докажем третье свойство:
Пусть даны три пары действительных чисел, (a; b), (c; d), (e; f). Тогда требуемое неравенство можно записать в следующем виде:
[math]\displaystyle{ |a-c| + |b-d| \leq |a-x| + |b-y| + |x-c| + |y-d| }[/math]. Данное неравенство верно, что следует из сложения двух следующих неравенств, доказанных ранее:
[math]\displaystyle{ |a-c| \leq |a-x| + |x-c| }[/math] и [math]\displaystyle{ |b-d| \leq |b-y| + |y-d| }[/math].
Метрика Евклида
Введение метрики
Для множества пар действительных чисел дана метрика Евклида:
[math]\displaystyle{ \rho((a; b); (c; d)) = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2} }[/math].
Убедимся, что множество R² с введенной метрикой Евклида является метрическим пространством.
Доказательство
Первое свойство выполняется, так как арифметический корень из неотрицательного числа всегда неотрицателен. Если же выполняется равенство нулю, то оба выражения возводимые в квадрат, равны нулю, откуда требуемое очевидно.
Второе свойство выполняется, так как [math]\displaystyle{ \rho((a; b); (c; d)) = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2} = \sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2} = \rho((c; d); (a; b)) }[/math].
Докажем третье свойство:
Пусть даны три пары действительных чисел, (a; b), (c; d), (e; f). Тогда требуемое неравенство можно записать в следующем виде:
[math]\displaystyle{ \sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\leq\sqrt{(a-e)^2+(b-f)^2}+\sqrt{(e-c)^2+(f-d)^2} }[/math]. После возведения в квадрат и преобразования данного выражения приходим к следующему неравенству:
[math]\displaystyle{ (a-e)(e-c)+(b-f)(f-d)\leq\sqrt{((a-e)^2+(b-f)^2)((e-c)^2+(f-d)^2) } }[/math], которое верно, что следует из неравенства Коши-Буняковского (при соответствующей замене разностей чисел).
Расстояние в геометрии
В геометрии расстояние между фигурами - минимально возможная длина отрезка между точкой, принадлежащей первой фигуре, и точкой, принадлежащей второй фигуре.
Расстояние в технике
Расстояние между объектами — длина отрезка прямой, соединяющей два объекта. Расстояние в этом смысле является физической величиной с размерностью длины, значение расстояния выражается в единицах длины.
Расстояние в физике
Расстояние | |
---|---|
Файл:S | |
Единицы измерения | |
СИ | м |
СГС | см |
В физике расстояние меряется единицами длины, которые в большинстве систем измерений являются одной из основных единиц измерения. В международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр. Расстоянием также называют длину пути, пройденного объектом. В этом случае производной расстояния (радиус-вектора) по времени является скорость.
Другие использования
В проксемике понятие расстояния используют для описания личного пространства человека.
См. также
Примечания
Литература
- Зенитное расстояние // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.