Групповая скорость

Группова́я ско́рость — величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» — то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей квазимонохроматического волнового пакета (или цуга волн). В случае рассмотрения распространения волн в пространстве размерностью больше единицы подразумевается, как правило, волновой пакет, близкий по форме к плоской волне[1].
Определение
Групповая скорость во многих важных случаях определяет скорость переноса энергии и информации квазисинусоидальной волной (хотя это утверждение в общем случае требует серьёзных уточнений и оговорок).
Групповая скорость определяется динамикой физической системы, в которой распространяется волна (конкретной среды, конкретного поля и т. п.). В большинстве случаев подразумевается линейность этой системы (точно или приближённо).
Для одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии:
- [math]\displaystyle{ v_{gr} = d\omega/dk }[/math],
где [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — угловая частота, [math]\displaystyle{ k }[/math] — волновое число.
Групповая скорость волн в пространстве (например, трёхмерном или двумерном) определяется градиентом частоты по волновому вектору [math]\displaystyle{ \vec k }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \vec v_{gr} = \nabla_\vec k \omega }[/math]
или (для трёхмерного пространства):
- [math]\displaystyle{ (v_{gr})_x = \partial\omega/\partial k_x, }[/math]
- [math]\displaystyle{ (v_{gr})_y = \partial\omega/\partial k_y, }[/math]
- [math]\displaystyle{ (v_{gr})_z = \partial\omega/\partial k_z. }[/math]
- Замечание: групповая скорость, вообще говоря, зависит от волнового вектора (в одномерном случае — от волнового числа), то есть различна для разной величины и для разных направлений волнового вектора.
Групповая скорость используется для систем, в которых осуществляется измерение запаздывающих сигналов для расчёта расстояний и времени запаздывания, в гидролокации, при управлении удалёнными объектами, и т. д.
Частные случаи
В одномерных средах без дисперсии групповая скорость формально совпадает с фазовой скоростью лишь в случае одномерных волн.
В диссипативных (поглощающих) средах групповая скорость уменьшается с увеличением частоты в случае нормальной дисперсии фазовой скорости и, наоборот, увеличивается в средах с аномальной дисперсией (например, капиллярные волны на поверхности воды). При этом возможно преодоление групповой скоростью скорости света в выбранной среде, а также отрицательная аномальная дисперсия, когда групповая скорость противоположна фазовой. В диссипативных структурах (например, плазмонных) групповая скорость может иметь любое значение: меньше скорости света, больше скорости света, быть отрицательной по отношению к фазовой скорости, переходить через бесконечность. Такая групповая скорость есть величина кинематическая (как и фазовая скорость) и определяет скорость переноса биений двух бесконечно близких по частоте монохроматических волн (как её рассматривал Стокс). Для гамильтоновых систем (замкнутых систем без диссипации) в общем случае С. М. Рытовым (ЖЭТФ, 7, 930, 1947) доказана теорема, утверждающая, что групповая скорость совпадает со скоростью переноса электромагнитной энергии монохроматической волной (теорема Леонтовича-Лайтхилла-Рытова). Отрицательная (по отношению к фазовой скорости) групповая скорость в таких недиссипативных средах и структурах соответствует обратным волнам. В диссипативных средах и структурах направление движения энергии определяет вектор Пойнтинга или направление затухания волны.
Если дисперсионные свойства среды таковы, что волновой пакет распространяется в ней без существенных изменений формы своей огибающей, групповая скорость обычно может быть интерпретирована как скорость переноса «энергии» волны и скорость, с которой могут быть переданы с помощью волнового пакета сигналы, несущие информацию, (то есть «скорость распространения причинности»).
В классическом пределе квантовомеханических уравнений скорость классической частицы представляет собой значение групповой скорости, соответствующей квантовомеханической волновой функции. Из одного из пары канонических уравнений Гамильтона:
- [math]\displaystyle{ \dot q_i = \partial H / \partial p_i }[/math],
следует классический предел приведённого выше выражения для групповой скорости; это особенно ясно в декартовых координатах, учитывая [math]\displaystyle{ \vec p = \hbar \vec k,\ H(p,q) = \hbar \omega(k,q). }[/math]
История
Идея групповой скорости, отличающейся от фазовой скорости волны, впервые предложена Гамильтоном в 1839 году. Первое достаточно полное рассмотрение сделано Рэлеем в его работе «Теории звука» («Theory of Sound») в 1877[2].
См. также
Примечания
- ↑ Миллер М. А., Суворов E. В. Групповая скорость // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 544—545. — 704 с. — 100 000 экз.
- ↑ Brillouin, Léon (1960), Wave Propagation and Group Velocity, New York: Academic Press Inc., OCLC 537250
Литература
- Уизем Дж. Б. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир. — 1977.
- Ablowitz M.J. & Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform. — SIAM Philadelphia. — 1981.
- Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Oscillations and waves in linear and nonlinear systems. — Kewver-Academic Publ., Amsterdam. — 1989.
- Ostrovsky L.A. and Potapov A.I. Modulated Waves. Theory and Applications. — Johns Hopkins Uni Press, Baltimore — London. — 1999.
- Андронов А. А. Витт А. А. Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М. : Наука, 1981.
- Трубецков Д. И. Рожнев А. Г. Линейные колебания и волны : учебное. пособие для студентов вузов. — М. : Издательство физико-математической литературы, 2001.
- Горелик Г. С. Колебания и волны : введение в акустику, радиофизику и оптику : учебное пособие для студентов вузов. — М. : Физматлит, 2007.
- Бишоп Р. Колебания. — М. : Вузовская книга, 2019.
Ссылки