Теорема Стюарта

Рис. 1

Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.

Она утверждает, что если точка [math]\displaystyle{ D }[/math] лежит на стороне [math]\displaystyle{ BC }[/math] треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math], то

[math]\displaystyle{ AD^2 = p^2 = b^2\frac{x}{a}+c^2 \frac{y}{a} - {xy}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ y=CD }[/math], [math]\displaystyle{ x=BD }[/math] и [math]\displaystyle{ a=x+y=BC }[/math] (рис. 1). Отрезок AD называется чевианой треугольника ABC.

Доказательства

Через произведение векторов

Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения. Представим вектор [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD}, }[/math] длина которого искома, двумя способами:

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD},\quad \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}. }[/math]

Первое уравнение домножим на длину [math]\displaystyle{ CD }[/math], а второе — на [math]\displaystyle{ BD\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD}\cdot CD=\overrightarrow{AB}\cdot CD+\overrightarrow{BD}\cdot CD, }[/math]

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD}\cdot BD=\overrightarrow{AC}\cdot BD+\overrightarrow{CD}\cdot BD. }[/math]

Теперь сложим полученные уравнения:

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD}\cdot BC=(\overrightarrow{AB}\cdot CD~{\color{Red}+~\overrightarrow{BD}\cdot CD}) +(\overrightarrow{AC}\cdot BD~{\color{Red}+~\overrightarrow{CD}\cdot BD}), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \overrightarrow{BD}\cdot CD +\overrightarrow{CD}\cdot BD=0, }[/math] так как [math]\displaystyle{ \overrightarrow{BD}\cdot CD }[/math] и [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CD}\cdot BD }[/math] имеют равные длины и противоположны. Следовательно, сам вектор [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math] равен

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\frac{CD}{BC}+\overrightarrow{AC}\frac{BD}{BC}. }[/math]

Его длину можно получить с помощью скалярного произведения вектора [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math] на самого себя:

[math]\displaystyle{ \left (\overrightarrow{AD} \right )^2=\left (\overrightarrow{AB} \right )^2\left (\frac{CD}{BC} \right )^2+\left (\overrightarrow{AC} \right )^2\left (\frac{BD}{BC} \right )^2+{\color{Green}2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}} \cdot \frac{CD}{BC}\cdot \frac{BD}{BC}. }[/math]

Далее, чтобы выразить [math]\displaystyle{ 2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} }[/math] через длины, нужно найти [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}, }[/math]

[math]\displaystyle{ BC^2=AC^2-2 \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB} +AB^2, }[/math]

[math]\displaystyle{ 2 \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=AC^2+AB^2-BC^2. }[/math]

Отсюда окончательно получается, что

[math]\displaystyle{ AD^2=AB^2\frac{CD^2}{BC^2}+AC^2\frac{BD^2}{BC^2} +({\color{Green}AC^2+AB^2-BC^2})\frac{CD}{BC}\cdot\frac{BD}{BC}, }[/math]

[math]\displaystyle{ AD^2=AB^2\cdot \frac{CD}{BC}+AC^2\cdot \frac{BD}{BC}-CD\cdot BD. }[/math]

Через теорему косинусов

Выразим AB и AC через остальные стороны треугольников ABC и ACD и через углы [math]\displaystyle{ \angle ADB }[/math] и [math]\displaystyle{ \angle ADC, }[/math] смежные друг другу:

[math]\displaystyle{ AB^2=BD^2+AD^2 - 2AD\cdot BD \cos \angle ADB, }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{alignat}{2} AC^2 &= AD^2+DC^2~{\color{Green}-}~ 2AD \cdot DC \cos \angle AD{\color{Green}C}= \\ & = AD^2+DC^2~{\color{Green}+}~2AD\cdot DC \cos \angle AD{\color{Green}B}. \\ \end{alignat} }[/math]

Умножим первое уравнение на [math]\displaystyle{ DC }[/math], а второе — на [math]\displaystyle{ BD\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{cases} AB^2DC=BD^2DC+AD^2DC - 2AD\cdot BD\cdot DC \cos \angle ADB, \\ AC^2BD = AD^2BD+DC^2BD+ 2AD\cdot DC\cdot BD \cos \angle ADB,\end{cases} }[/math]

Чтобы избавиться от косинуса угла ABD, сложим эти равенства:

[math]\displaystyle{ AB^2DC+AC^2BD = (BD^2DC+AD^2DC)+(AD^2BD+DC^2BD), }[/math]

[math]\displaystyle{ AB^2DC+AC^2BD-BD^2DC-DC^2BD=AD^2(DC+BD), }[/math]

[math]\displaystyle{ AB^2DC+AC^2BD-BD\cdot DC(BD+DC)=AD^2(DC+BD), }[/math]

[math]\displaystyle{ AB^2\cdot \frac{CD}{BC}+AC^2\cdot \frac{BD}{BC}-BD\cdot CD=AD^2. }[/math]

История

Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

Применение

• Теорему можно использовать для нахождения медиан и биссектрис треугольников, и частный случай теоремы Стюарта, когда чевиана вырождается в медиану, — это теорема Аполлония.
• Следствием теоремы Стюарта также является теорема Птолемея.^{[прояснить]}

Обобщение

• Теорема Стюарта обобщается до равенства Бретшнайдера для четырёхугольника: если одна вершина четырёхугольника попадает на сторону четырёхугольника, то из теоремы Бретшнайдера следует теорема Стюарта.

Литература

• Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр. 53.
• В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр. 302—303.
• Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540 с.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0.