Перейти к содержанию

Центр окружности девяти точек

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Центр девяти точек»)

Шаблон:Центр треугольника Центр окружности девяти точек — одна из замечательных точек треугольника. Её часто обозначают как [math]\displaystyle{ O_9 }[/math].

Окружность девяти точек, или окружность Эйлера, проходит через девять важных точек треугольника — середины сторон, основания трёх высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Центр этой окружности указан как точка X(5) в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга[1][2].

Свойства

  • Центр окружности девяти точек [math]\displaystyle{ O_9 }[/math] лежит на прямой Эйлера треугольника посредине между ортоцентром [math]\displaystyle{ H }[/math] и центром описанной окружности [math]\displaystyle{ O }[/math]. Центроид [math]\displaystyle{ M }[/math] также лежит на этой линии на расстоянии 2/3 от ортоцентра к центру описанной окружности[2][3], так, что
[math]\displaystyle{ O_9O=O_9H=3O_9M~. }[/math]

Таким образом, если пара из этих четырёх центров известна, положение двух других легко найти.

  • Андрю Гинанд (Andrew Guinand) в 1984-м году, исследуя задачу, ныне известную как задача определения треугольника Эйлера, показал, что если положение этих центров для неизвестного треугольника задано, то инцентр треугольника лежит внутри ортоцентроидальной окружности[англ.] (окружности, диаметром которой служит отрезок между центроидом и ортоцентром). Только одна точка внутри этой окружности не может быть центром вписанной окружности — это центр девяти точек. Любая другая точка внутри этой окружности определяет единственный треугольник[4][5][6][7].
  • Расстояние от центра окружности девяти точек до инцентра [math]\displaystyle{ I }[/math] удовлетворяет формулам:
[math]\displaystyle{ IO_9 \lt \dfrac{1}{2}IO~, }[/math]
[math]\displaystyle{ IO_9=\dfrac{1}{2}(R-2r) \lt \frac{R}{2}~, }[/math]
[math]\displaystyle{ 2R\cdot IO_9=OI^2~, }[/math]

где [math]\displaystyle{ R }[/math] и [math]\displaystyle{ r }[/math] — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

  • Центр окружности девяти точек является центром описанных окружностей серединного треугольника, ортотреугольника и треугольника Эйлера[8][3]. Вообще говоря, эта точка является центром описанной окружности треугольника, имеющего в качестве вершин любые три из девяти перечисленных точек.
  • Центр окружности девяти точек совпадает с центроидом четырёх точек — трёх точек треугольника и его ортоцентра[9].
  • Из девяти точек на окружности Эйлера три являются серединами отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром (вершины треугольника Эйлера-Фейербаха). Эти три точки являются отражениями середин сторон треугольника относительно центра окружности девяти точек.
  • Таким образом, центр окружности девяти точек служит центром симметрии, переводящим серединный треугольник в треугольник Эйлера-Фейербаха (и наоборот) [3].
  • Согласно теореме Лестера центр окружности девяти точек лежит на одной окружности с тремя другими точками — двумя точками Ферма и центром описанной окружности [10].
Точка Коснита, изогонально сопряженная центру окружности девяти точек

Координаты

Трилинейные координаты центра окружности девяти точек равны[1][2]:

[math]\displaystyle{ \cos(B-C) : \cos(C-A) : \cos(A-B) }[/math]
[math]\displaystyle{ =\cos A+2\cos B \cos C:\cos B+2\cos C \cos A:\cos C+2\cos A\cos B }[/math]
[math]\displaystyle{ =\cos A-2\sin B \sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B }[/math]
[math]\displaystyle{ =bc[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]:ca[b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2]:ab[c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2]~. }[/math]

Барицентрические координаты центра равны[2]:

[math]\displaystyle{ a\cos(B-C):b\cos (C-A):c\cos (A-B) }[/math]
[math]\displaystyle{ =a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2:b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2:c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2~. }[/math]

Примечания

  1. ↑ Перейти обратно: 1,0 1,1 Kimberling, 1994, с. 163–187.
  2. ↑ Перейти обратно: 2,0 2,1 2,2 2,3 Encyclopedia of Triangle Centers, accessed 2014-10-23.
  3. ↑ Перейти обратно: 3,0 3,1 3,2 Dekov, 2007.
  4. ↑ Stern, 2007, с. 1–9.
  5. ↑ Euler, 1767, с. 103–123.
  6. ↑ Guinand, 1984, с. 290–300.
  7. ↑ Franzsen, 2011, с. 231—236.
  8. ↑ Здесь не следует путать треугольник Эйлера из теории чисел (наподобие треугольника Паскаля) и треугольник Эйлера как треугольник, образованный точками Эйлера. Точки Эйлера — это середины отрезков, соединяющих оротоцентр с вершинами треугольника.
  9. ↑ Энциклопедия центров треугольника приписывает это наблюдение Рэнди Хьюстону(Randy Hutson, 2011).
  10. ↑ Yiu, 2010, с. 175–209.
  11. ↑ Rigby, 1997, с. 156–158.

Литература

  • Kimberling. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle // Mathematics Magazine. — 1994. — Т. 67, вып. 3. — JSTOR 2690608.
  • Stern. Euler’s triangle determination problem // Forum Geometricorum. — 2007. — Т. 7.
  • Dekov. Nine-point center // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. — 2007.
  • Euler. Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum (Latin) // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. — 1767. — Т. 11.
  • Andrew P. Guinand. Euler lines, tritangent centers, and their triangles // American Mathematical Monthly. — 1984. — Т. 91, вып. 5. — JSTOR 2322671.
  • William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вып. 11.
  • Paul Yiu. The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.
  • Rigby. Brief notes on some forgotten geometrical theorems // Mathematics and Informatics Quarterly. — 1997. — Vol. 7.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Центр_окружности_девяти_точек&oldid=5882722