Изогональное сопряжение
Изогона́льное сопряже́ние — геометрическое преобразование, получаемое отражением прямых, соединяющих исходные точки с вершинами заданного треугольника, относительно биссектрис углов треугольника.
Определение
Точки [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ P^* }[/math] называются изогонально сопряжёнными (устаревшие названия — изогональными, обратными[1]) в треугольнике [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math], если [math]\displaystyle{ \angle ABP = \angle CBP^* }[/math], [math]\displaystyle{ \angle BAP = \angle CAP^* }[/math], [math]\displaystyle{ \angle BCP = \angle ACP^* }[/math]. Корректность данного определения можно доказать через теорему Чевы в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является взаимно-однозначным отображением.
Свойства
- Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры вписанной и вневписанных окружностей.
- Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — бесконечно удалённая. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно прямой Симсона исходной точки.
- Если точки [math]\displaystyle{ P_a }[/math], [math]\displaystyle{ P_b }[/math], [math]\displaystyle{ P_c }[/math] симметричны точке [math]\displaystyle{ P }[/math] относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности треугольника [math]\displaystyle{ P_aP_bP_c }[/math] изогонально сопряжён точке [math]\displaystyle{ P }[/math].
- Если в треугольник вписан эллипс, то его фокусы изогонально сопряжены.
- Проекции двух изогонально сопряжённых точек на стороны лежат на одной окружности (верно и обратное) [2]. Центр этой окружности — середина отрезка между сопряжёнными точками. Частный случай — окружность девяти точек.
- Последнее означает, что подерные окружности двух изогонально сопряженных точек совпадают. В частности, подерной окружностью ортоцентра и центра описанной окружности является окружность Эйлера. Подерной или педальной окружностью называют описанную окружность подерного треугольника.
- Две точки треугольника изогонально сопряжены тогда и только тогда, когда произведения трёх их расстояний до трёх сторон треугольника равны [2].
Пары изогонально сопряженных линий
- Образ прямой при изогональном сопряжении — коника, описанная около треугольника. В частности, изогонально сопряжены бесконечно удалённая прямая и описанная окружность, прямая Эйлера и гипербола Енжабека, ось Брокара и гипербола Киперта, линия центров вписанной и описанной окружности и гипербола Фейербаха.
- Если коника [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] изогонально сопряжена прямой [math]\displaystyle{ l }[/math], то трилинейные поляры всех точек на [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] будут проходить через точку, изогонально сопряжённую трилинейному полюсу [math]\displaystyle{ l }[/math].
- Некоторые известные Кубика|кубики, например, кубика Томпсона (Thompson cubic), кубика Дарбу (Darboux cubic), кубика Нойберга (Neuberg cubic) изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.
Пары изогонально сопряжённых точек
- Центр описанной окружности и ортоцентр (см. рисунок).
- Точка пересечения медиан и точка Лемуана (точка пересечения симедиан).
- Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
- Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
- Две точки Брока́ра
- Точка Аполлония и точка Торричелли.
- Центр вписанной окружности (инцентр) изогонально сопряжён сам себе.
Координатная запись
В барицентрических координатах изогональное сопряжение записывается как:
- [math]\displaystyle{ (x:y:z)\ \mapsto \left(\frac{a^2}{x}:\frac{b^2}{y}:\frac{c^2}{z}\right) }[/math],
где [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math] — длины сторон треугольника. В трилинейных координатах его запись имеет форму:
- [math]\displaystyle{ (x:y:z)\ \mapsto \left(\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z}\right) }[/math],
поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка.
Вариации и обобщения
- Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет.
Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записываться аналогично плоскому изогональному сопряжению[3].
- С изогональным сопряжением тесно связано антигональное сопряжение, упоминаемое в статье теорема Понселе.
Следствия
- Из изогонального сопряжения можно вывести теорему Паскаля.
Примечания
- ↑ Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902
- ↑ Перейти обратно: 2,0 2,1 Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 97, п. 80.
- ↑ Изогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях (недоступная ссылка)