Вписанный угол

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Связанные определения

  • Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, высекаемую им на окружности, или же опирается на хорду, соединяющую концы этой дуги.

Свойства

  • Теорема о вписанном угле: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и дополняет до 180° половину центрального угла, опирающегося на дополнительную дугу. В любом случае вписанный угол равен половине угловой меры дуги, на которую он опирается.[1]
    • Следствия:
      • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
      • CrossedChords.png
        Вертикальные углы, образованные пересечением отрезков, перекрёстно соединяющих концы двух непересекающихся хорд, равны полусумме угловых мер стягиваемых хордами дуг, либо дополняют эту полусумму до 180°.

Метод вспомогательной окружности

На теореме о вписанном угле основан метод решения геометрических задач, так называемый метод вспомогательной окружности. Идея метода состоит в использовании теоремы о вписанном угле и её обратной для нахождения вписанных четырёхугольников и далее использовании их для нахождения углов.[2] Следующая задача является классическим примером на использование этого метода:

  • Предположим три прямые проходящие через одну точку делят плоскость на 6 равных углов. Доказать, что ортогональные проекции произвольной точки на эти три прямые образуют правильный треугольник.

Примечания

  1. Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, §131.
  2. И.Ф. Шарыгин. Геометрия 7—9,. — М.: Дрофа, 1997. — 352 с.