Точка Жергонна
Шаблон:Центр треугольника Точка Жергонна — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон вписанной окружности.
Обычно обозначается [math]\displaystyle{ Ge }[/math], [math]\displaystyle{ G }[/math], [math]\displaystyle{ J }[/math] или [math]\displaystyle{ K }[/math].
Свойства
- Точка Жергонна является точкой Лемуана треугольника, образованного точками касания сторон треугольника со вписанной окружностью.
- Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля.
- Точка Жергонна изогонально сопряжена с центром отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
- Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности равен
[math]\displaystyle{ L^2 = r^2 - \frac {3p^2r^2}{(4R+r)^2} }[/math]
- Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра описанной окружности равен
[math]\displaystyle{ L^2 = R^2 - \frac {4p^2r(R+r)}{(4R+r)^2} }[/math]
- Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга с выколотым центром.[1]
- Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.[2]
Треугольник Жергонна
Треугольник Жергонна для основного треугольника ABC определяется тремя точками касания вписанной окружности трёх его сторон. Эти вершины обозначим TA, TB и TC. Точка TA лежит напротив вершины A. Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.
Свойства
- Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7).
- Точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна.
- Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
- Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) является подерным треугольником для инцентра в треугольнике ABC.
См. также
- Замечательные точки треугольника
- Вневписанная окружность
- Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
- Описанная окружность
- Точка Нагеля
История
Точка Жергонна была открыта Жозефом Диасом Жергонном (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) в начале XIX века.
Примечания
- ↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..
- ↑ Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.
 | Для улучшения этой статьи по математике желательно: |