Центр вписанной окружности

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Шаблон:Центр треугольника Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.

Традиционно обозначается латинской буквой [math]\displaystyle{ I }[/math] (по первой букве английского слова "Incenter"). В энциклопедии центров треугольника зарегистрирован под символом [math]\displaystyle{ X(1) }[/math].

Свойства

  • Центр вписанной окружности треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника.
  • Для треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] со сторонами [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math], противолежащими вершинам [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math] соответственно, инцентр делит биссектрису угла [math]\displaystyle{ A }[/math] в отношении:
    [math]\displaystyle{ \frac{b+c}{a} }[/math].
Теорема трилистника
  • Если продолжение биссектрисы угла [math]\displaystyle{ B }[/math] пересекает описанную окружность [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] в точке [math]\displaystyle{ D }[/math], то выполняется равенство: [math]\displaystyle{ DA=DC=DI=DJ }[/math], где [math]\displaystyle{ J }[/math] — центр вневписанной окружности, касающейся стороны [math]\displaystyle{ AC }[/math]; это свойство инцентра известно как теорема трилистника (также — лемма о трезубце, теорема Клайнэра).
  • Расстояние между инцентром [math]\displaystyle{ I }[/math] и центром описанной окружности [math]\displaystyle{ O }[/math] выражается формулой Эйлера:
    [math]\displaystyle{ OI^2=R^2-2Rr }[/math],
где [math]\displaystyle{ R }[/math] и [math]\displaystyle{ r }[/math] — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[1].
  • Инцентр можно найти как центр масс вершин треугольника если в каждую вершину поместить массу, равную длине противолежащей стороны (см. также Центр Шпикера).
Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. Лемма Веррьера: Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и окружности Веррьера (полувписанной окружности)
  • Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.[4].
    • Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.
Теорема Тебо 3
  • Третья теорема Тебо. Пусть [math]\displaystyle{ ABC }[/math] — произвольный треугольник, [math]\displaystyle{ D }[/math] — произвольная точка на стороне [math]\displaystyle{ BC }[/math], [math]\displaystyle{ I_1 }[/math] — центр окружности, касающейся отрезков [math]\displaystyle{ AD, BD }[/math] и описанной около [math]\displaystyle{ \Delta ABC }[/math] окружности, [math]\displaystyle{ I_2 }[/math] — центр окружности, касающейся отрезков [math]\displaystyle{ CD, AD }[/math] и описанной около [math]\displaystyle{ \Delta ABC }[/math] окружности. Тогда отрезок [math]\displaystyle{ I_1I_2 }[/math] проходит через точку [math]\displaystyle{ I }[/math] — центр окружности, вписанной в [math]\displaystyle{ \Delta ABC }[/math], и при этом [math]\displaystyle{ I_1I:II_2=\operatorname{tg}^2\frac{\phi}{2} }[/math], где [math]\displaystyle{ \phi=\angle BDA }[/math].
  • Слабая точка в треугольнике (weak point) та, у которой может найтись близнец с помощью её ортогонального сопряжения за пределы треугольника. Например, инцентр, Точка Нагеля и другие являются слабыми точками, ибо допускают получение аналогичных точек при их сопряжении за пределы треугольника.[5].

См. также

Примечания

  1. ↑ Мякишев А. Г. . Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002. — 32 с. — (Библиотека «Математическое просвещение». вып. 19). — ISBN 5-94057-048-8. — С. 11, п. 5.
  2. ↑ Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
  3. ↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с.
  4. ↑ Ross Honsberger, "3. An Unlikely Collinearity" in "Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry" (Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390), p. 30, Figure 34
  5. ↑ Мякишев А. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Математика. Все для учителя! № 6 (6). июнь. 2011. с. 11, правая колонка, 2-ой абзац сверху// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf

Литература

  • Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 88-90. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Центр_вписанной_окружности&oldid=5882711