Теорема Менелая

Теоре́ма Менела́я, или теорема о трансверсалях, или теорема о полном четырёхстороннике, — классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка

Если точки [math]\displaystyle{ A',B' }[/math] и [math]\displaystyle{ C' }[/math] лежат соответственно на сторонах [math]\displaystyle{ BC,CA }[/math] и [math]\displaystyle{ AB }[/math] треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] или на их продолжениях, то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

[math]\displaystyle{ \frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1. }[/math]

где [math]\displaystyle{ \frac{AB'}{B'C} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{CA'}{A'B} }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{BC'}{C'A} }[/math] обозначают отношения направленных отрезков.

Доказательстворазвернуть

Проведем через точку [math]\displaystyle{ C }[/math] прямую, параллельную прямой [math]\displaystyle{ AB }[/math], и обозначим через [math]\displaystyle{ K }[/math] точку пересечения этой прямой с прямой [math]\displaystyle{ A'C' }[/math]. Поскольку треугольники [math]\displaystyle{ \triangle AC'B' }[/math] и [math]\displaystyle{ \triangle CKB' }[/math] подобны (по двум углам), то

[math]\displaystyle{ \frac{|AC'|}{|CK|} = \frac{|B'A|}{|B'C|} }[/math].

Так как подобными являются также треугольники [math]\displaystyle{ \triangle BC'A' }[/math] и [math]\displaystyle{ \triangle CKA' }[/math], тем самым

[math]\displaystyle{ \frac{|CK|}{|C'B|} = \frac{|A'C|}{|BA'|} }[/math].

Исключая [math]\displaystyle{ CK }[/math], получаем

[math]\displaystyle{ \frac{|AC'|}{|C'B|}\cdot\frac{|BA'|}{|A'C|}\cdot\frac{|CB'|}{|B'A|} = 1 }[/math].

Остаётся заметить, что возможны два расположения точек [math]\displaystyle{ A',B' }[/math] и [math]\displaystyle{ C' }[/math]: либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем

[math]\displaystyle{ \frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1. }[/math]

Замечания

• В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:

  [math]\displaystyle{ \frac{|AB'|}{|B'C|}\cdot\frac{|CA'|}{|A'B|}\cdot\frac{|BC'|}{|C'A|}=1. }[/math]

Вариации и обобщения

• Тригонометрический эквивалент:

[math]\displaystyle{ \frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle A'AC} \cdot \frac{\sin\angle CBB'}{\sin\angle B'BA} \cdot \frac{\sin\angle ACC'}{\sin\angle C'CB}=-1 }[/math], где все углы — ориентированные.

• В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид

[math]\displaystyle{ \frac{\sin |AB'|}{\sin |B'C|}\cdot\frac{\sin |CA'|}{\sin |A'B|}\cdot\frac{\sin |BC'|}{\sin |C'A|} = 1. }[/math]

• В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид

[math]\displaystyle{ \frac{\operatorname{sh} |AB'|}{\operatorname{sh} |B'C|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |CA'|}{\operatorname{sh} |A'B|}\cdot\frac{\operatorname{sh} |BC'|}{\operatorname{sh} |C'A|} = 1. }[/math]

История

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.

Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.

Применения

• Теорема Сальмона
• Многие теоремы проективной геометрии, например, теорема Паппа и теорема Дезарга, доказываются многократным применением теоремы Менелая.

См. также

• Двойное отношение
• Отношение направленных отрезков
• Пропорциональные отрезки
• Прямая Ньютона
• Теорема Чевы
• Теорема Ван-Обеля о треугольнике

Ссылки

• Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. —(Библиотечка «Квант»)).
• Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — 334 с. Архивная копия от 2 марта 2005 на Wayback Machine
• Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания).. — Москва: Ленанд", 2015. — 352 с. — ISBN 978-5-9710-2186-5.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 73-74. — ISBN 5-94057-170-0.
• Шаль, Мишель. О теореме Птоломея относительно треугольника, пересечённого трансверсалью // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М., 1883. — Т. 2.
• Sidoli N. The sector theorem attributed to Menelaus // SCIAMVS. — 2006. — № 7. — С. 43–79.