Теорема Штейнера (планиметрия)

[math]\displaystyle{ \frac{BM}{CM}\cdot\frac{BN}{CN}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2. }[/math]

Теорема Штейнера — классическая теорема геометрии треугольника, обобщение теоремы о биссектрисе. Названа в честь Якоба Штейнера.

Формулировка

Пусть через вершину [math]\displaystyle{ A }[/math] треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] внутри него проведены две прямые, образующие равные углы со сторонами [math]\displaystyle{ AB }[/math] и [math]\displaystyle{ AC }[/math] и пересекающие сторону [math]\displaystyle{ BC }[/math] в точках [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \frac{BM}{CM}\cdot\frac{BN}{CN}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2 }[/math].

Важный частный случай теоремы

Из теоремы Штейнера, как частный случай, получается теорема о биссектрисе. Действительно, пусть в сформулированной выше теореме точки M и N совпадают, образуя точку D, тогда они являются основанием биссектрисы, опущенной из вершины A на сторону BC. В этом частном случае мы имеем [math]\displaystyle{ \frac{BD}{CD}\cdot\frac{BD}{CD}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2 }[/math]. Извлекая квадратный корень из обеих частей, имеем [math]\displaystyle{ \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC} }[/math], что и составляет суть теоремы о биссектрисе.

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 32. — ISBN 5-94057-170-0.

См. также

• Кривая Штейнера
• Теорема Гюйгенса — Штейнера
• Теорема Мардена
• Теорема Штейнера — Лемуса
• Теорема Штейнера — Понселе
• Точка Штейнера
• Треугольник
• Эллипс Штейнера