Трапеция

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Часто в определении трапеции опускают последнее условие (см. ниже). Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Варианты определения

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения

Элементы трапеции

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой

• Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Углом при основании трапеции называется её внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.

Виды трапеций

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой или равнобочной трапецией).
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

• 

  Равнобедренная трапеция

• 

  Прямоугольная трапеция

Свойства

Основной источник:

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен [math]\displaystyle{ \frac{2xy}{x+y} }[/math] среднему гармоническому длин оснований трапеции.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
• Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
• Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, являются равновеликими [имеют одинаковую площадь].
• Если отношение оснований равно [math]\displaystyle{ K }[/math], то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно [math]\displaystyle{ K^2 }[/math].
• Высота трапеции определяется формулой:

[math]\displaystyle{ h=\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2} }[/math]

где [math]\displaystyle{ b }[/math] — большее основание, [math]\displaystyle{ a }[/math] — меньшее основание, [math]\displaystyle{ c }[/math] и [math]\displaystyle{ d }[/math] — боковые стороны.

• Диагонали трапеции [math]\displaystyle{ d_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ d_2 }[/math] связаны со сторонами соотношением:

[math]\displaystyle{ d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2 }[/math]

Их можно выразить в явном виде:

[math]\displaystyle{ d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}} }[/math]

[math]\displaystyle{ d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}} }[/math]

Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:

[math]\displaystyle{ a=\sqrt{\frac{(c^2-d_1^2)^2-(d^2-d_2^2)^2}{2(c^2-d^2+d_1^2-d_2^2)}} }[/math]

[math]\displaystyle{ b=\sqrt{\frac{(c^2-d_2^2)^2-(d^2-d_1^2)^2}{2(c^2-d^2-d_1^2+d_2^2)}} }[/math]

а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:

[math]\displaystyle{ c=\sqrt{\frac{a(d_2^2-b^2)+b(d_1^2-a^2)}{a+b}} }[/math]

[math]\displaystyle{ d=\sqrt{\frac{a(d_1^2-b^2)+b(d_2^2-a^2)}{a+b}} }[/math]

Если же известна высота [math]\displaystyle{ h }[/math], то

[math]\displaystyle{ d_1=\sqrt{b^2+d^2-2b\sqrt{d^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{d^2-h^2} \right )^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ d_2=\sqrt{b^2+c^2-2b\sqrt{c^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{c^2-h^2} \right )^2} }[/math]

• Прямая Ньютона для трапеции совпадает с её средней линией.

Равнобедренная трапеция

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

• прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
• высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
• углы при любом основании равны;
• сумма противоположных углов равна 180°;
• длины диагоналей равны;
• диагонали трапеции образовывали с одним и тем же основание равные углы;
• из каждой вершины одного основания другое основание было видно под одним и тем же углом;
• вокруг этой трапеции можно описать окружность;
• вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

• если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
• В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
• Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
• Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:

[math]\displaystyle{ R=\frac{bcd_1}{4\sqrt{p(p-b)(p-c)(p-d_1)}}=\sqrt{\frac{ab+c^2}{4-\left ( \frac{b-a}{c}\right )^2}} }[/math]

где [math]\displaystyle{ p=\frac 12 (b+c+d_1) \, , \, c }[/math] — боковая сторона, [math]\displaystyle{ b }[/math] — бо́льшее основание, [math]\displaystyle{ a }[/math] — меньшее основание, [math]\displaystyle{ d_1=d_2 }[/math] — диагонали равнобедренной трапеции.

• Если [math]\displaystyle{ a+b=2c }[/math], то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса

[math]\displaystyle{ r=\frac h2=\frac{\sqrt{ab}}{2} }[/math]

• Если в трапецию вписана окружность с радиусом [math]\displaystyle{ r }[/math], и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — [math]\displaystyle{ v }[/math] и [math]\displaystyle{ w }[/math] — то [math]\displaystyle{ r = \sqrt{vw} }[/math].

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• В случае, если [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — основания и [math]\displaystyle{ h }[/math] — высота, формула площади:

[math]\displaystyle{ S= \dfrac{(a+b)}{2}h }[/math]

• В случае, если [math]\displaystyle{ m }[/math] — средняя линия и [math]\displaystyle{ h }[/math] — высота, формула площади:

[math]\displaystyle{ S= \displaystyle m h }[/math]

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

[math]\displaystyle{ m= \dfrac{ (a+b) }{2} }[/math]

• Формула, где [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math] — основания, [math]\displaystyle{ c }[/math] и [math]\displaystyle{ d }[/math] — боковые стороны трапеции:

[math]\displaystyle{ S=\dfrac{a+b}{4(b-a)}\sqrt{(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}. }[/math]

или

[math]\displaystyle{ S=\dfrac{a+b}{2}\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \dfrac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2} }[/math]

• Средняя линия [math]\displaystyle{ m }[/math] разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как

[math]\displaystyle{ \dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{3a+b}{a+3b} }[/math]

• По свойству треугольников [math]\displaystyle{ {\triangle AHD} }[/math] и [math]\displaystyle{ {\triangle BHC} }[/math] в трапеции [math]\displaystyle{ ABCD }[/math]:

[math]\displaystyle{ S = {\left(\sqrt{S_{\bigtriangleup AHD}} + \sqrt{S_{\bigtriangleup BHC}}\right)}^2. }[/math]

• Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, проведённого из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Формулы площади равнобедренной трапеции

• Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным [math]\displaystyle{ r }[/math], и углом при основании [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]:

[math]\displaystyle{ S=\frac{4r^2}{\sin{\alpha}} }[/math]

• Площадь равнобедренной трапеции:

[math]\displaystyle{ S=(b-c\cos{\gamma})c\sin{\gamma}=(a+c\cos{\gamma})c\sin{\gamma} }[/math]

где [math]\displaystyle{ c }[/math] — боковая сторона, [math]\displaystyle{ b }[/math] — бо́льшее основание, [math]\displaystyle{ a }[/math] — меньшее основание, [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной.

• Площадь равнобедренной трапеции через её стороны

[math]\displaystyle{ S=\frac{a+b}{2} \sqrt{c^2-\frac 14 (b-a)^2} }[/math]

• Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты:

[math]\displaystyle{ S = h^2. }[/math]

В этом случае средняя линия совпадает по длине с высотой трапеции, т. е. [math]\displaystyle{ m = h }[/math].

История

Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).