Функционал

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Функциона́л — функция, заданная на произвольном множестве и имеющая числовую область значений: обычно множество вещественных чисел [math]\displaystyle{ \R }[/math] или комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]. В более широком смысле функционалом называется любое отображение из произвольного множества в произвольное (не обязательно числовое) кольцо.

Функционалы изучаются как одно из центральных понятий в функциональном анализе, а основным предметом вариационного исчисления является изучение вариаций функционалов.

Определения

Область определения функционала может быть любым множеством. Если область определения является топологическим пространством, можно определить непрерывный функционал; если область определения является линейным пространством над [math]\displaystyle{ \R }[/math] или над [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], можно определить линейный функционал; если область определения является упорядоченным множеством, можно определить монотонный функционал.

Функционал, заданный на топологическом пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math], называется непрерывным, если он непрерывен как отображение в топологическое пространство [math]\displaystyle{ \R }[/math] или [math]\displaystyle{ \Complex }[/math].

Функционал, заданный на топологическом пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math], называется непрерывным в точке [math]\displaystyle{ x \in X }[/math], если он непрерывен в этой точке как отображение в топологическое пространство [math]\displaystyle{ \R }[/math] или [math]\displaystyle{ \Complex }[/math].

Функционал, заданный на линейном пространстве, и сохраняющий сложение и умножение на константу, называется линейным функционалом. (Отображение линейного пространства в линейное пространство называют оператором).

Один из простейших функционалов — проекция (сопоставление вектору одной из его компонент или координат).

Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости и т. д.). Поэтому в прикладных областях под функционалом часто понимают функцию от функций, отображение, переводящее функцию в число (действительное или комплексное).

Функционал на линейном пространстве называется положительно определённым, если его значение неотрицательно и равно нулю только в нуле.

Отображение, переводящее вектор в его норму, является выпуклым положительно определённым функционалом, это один из самых распространённых функционалов. В физике часто используется действие — тоже функционал.

Задачи оптимизации формулируются на языке функционалов: найти решение (уравнения, системы уравнений, системы ограничений, системы неравенств, системы включений и тому подобного), доставляющее экстремум (минимум или максимум) заданному функционалу. Функционалы также рассматриваются в вариационном анализе.

Функционал в линейном пространстве

Позднее от понятия традиционного функционала отделилось понятие функционала в линейном пространстве, как функции, отображающей элементы линейного пространства в его пространство скаляров. Зачастую (например, когда пространство функций является линейным пространством) эти две разновидности понятия «функционал» совпадают, в то же время они не тождественны и не поглощают друг друга.

Особенно важной разновидностью функционалов являются линейные функционалы.

Примеры

  • норма функции
  • значение функции в фиксированной точке
  • максимум или минимум функции на отрезке
  • величина интеграла от функции
  • длина графика вещественной функции вещественной переменной
  • длина кривой, параметрически заданной векторной функцией вещественного аргумента (длина пути)
  • площадь поверхности, параметрически заданной векторной функцией двух вещественных аргументов
  • скалярное произведение на фиксированный вектор
  • действие в механике
  • функционал энергии

Литература