Алгебра с единицей

Алгебра с единицей (также унитальная алгебра, калька с англ. unital algebra) — алгебра над кольцом, в которой существует нейтральный элемент по отношению к умножению (единица), то есть такой элемент [math]\displaystyle{ 1 }[/math], что для всех элементов [math]\displaystyle{ x }[/math] алгебры выполняются равенства

[math]\displaystyle{ 1\cdot x = x\cdot 1 = x }[/math]

Это определение эквивалентно тому, что данная алгебра является моноидом по отношению к умножению. Как и в случае любого моноида, нейтральный элемент является единственным.

Многие ассоциативные алгебры, включая алгебры групп, полиномов и матриц, являются унитарными, если этим свойством обладают соответствующие кольца. Большинство функциональных алгебр, рассматриваемых в математическом анализе, напротив, свойством унитарности не обладают. К таковым относится, например, алгебра функций с интегрируемым квадратом и неограниченной областью определения, а также алгебра функций, являющихся бесконечно малыми на бесконечности (особенно функций с компактным носителем в некоторых некомпактных пространствах).

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — унитарные алгебры, тогда гомоморфизм [math]\displaystyle{ f: A \to B }[/math] является унитарным, если он отображает нейтральный элемент [math]\displaystyle{ A }[/math] в нейтральный элемент [math]\displaystyle{ B }[/math].

Литература

• Kevin McCrimmon. A taste of Jordan algebras. — Springer, 2004. — ISBN 978-0-387-95447-9.