Коммутативное кольцо

Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна (обычно также подразумевается её ассоциативность и существование единицы). Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.

Идеалы и спектр кольца

Некоторые из последующих определений существуют и для некоммутативных колец, однако становятся более сложными. Например, идеал в коммутативном кольце автоматически является двусторонним, что существенно упрощает ситуацию.

Идеалы и факторкольца

Основные статьи: Идеал (математика) и Факторкольцо

Внутренняя структура коммутативного кольца определяется структурой его идеалов, то есть непустых подмножеств, замкнутых относительно сложения, а также умножения на произвольный элемент кольца. По данному подмножеству [math]\displaystyle{ F = \{f_j\}_{j \in J} }[/math] коммутативного кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] можно построить наименьший идеал, содержащий это подмножество. А именно, это пространство конечных линейных комбинаций вида

[math]\displaystyle{ r_1f_1 + r_2f_2 + \cdots + r_nf_n }[/math]

Идеал, порожденный одним элементом, называется главным. Кольцо, в котором все идеалы главные, называется кольцом главных идеалов, два важных примера таких колец — [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math] и кольцо многочленов над полем [math]\displaystyle{ k }[/math] [math]\displaystyle{ k[x] }[/math]. Любое кольцо имеет как минимум два идеала — нулевой идеал и само кольцо. Идеал, который не содержится в другом несобственном (не совпадающем с самим кольцом) идеале называется максимальным. Из леммы Цорна следует, что в любом кольце существует хотя бы один максимальный идеал.

Определение идеала построено таким образом, что позволяет «поделить» кольцо на него, то есть существует факторкольцо [math]\displaystyle{ R / I }[/math]: это множество смежных классов по [math]\displaystyle{ I }[/math] с операциями

[math]\displaystyle{ (a + I) + (b + I) = (a + b) + I, (a + I)(b + I) = ab + I }[/math].

Эти операции определены корректно, например, [math]\displaystyle{ (a + I)(b + I) = ab + aI + Ib + I \cdot I = ab + I }[/math], так как [math]\displaystyle{ a }[/math] принадлежит [math]\displaystyle{ I }[/math] и т. д. Из этого понятно, почему определение идеала именно такое.

Локализация

Основная статья: Локализация кольца

Локализация кольца — это операция, в некотором смысле противоположная ко взятию фактора: в факторкольце элементы некоторого подмножества превращаются в ноль, тогда как в локализации элементы некоторого множества становятся обратимыми. А именно, если [math]\displaystyle{ S }[/math] — это подмножество [math]\displaystyle{ R }[/math], замкнутое относительно умножения, то локализация по [math]\displaystyle{ S }[/math], обозначаемая как [math]\displaystyle{ S^{-1} R }[/math], состоит из формальных символов вида

[math]\displaystyle{ \frac{r}{s} }[/math], где [math]\displaystyle{ r \in R }[/math], [math]\displaystyle{ s \in S }[/math]

с правилом сокращения числителя и знаменателя, похожим на обычное правило (но не совпадающим с ним). Операции сложения и умножения на таких «дробях» определяются обычным образом.

На этом языке [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math] — это локализация [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math] по множеству ненулевых целых чисел. Эту же операцию можно провести с любым целостным кольцом на месте [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math]: локализация [math]\displaystyle{ (\mathbb R \backslash \{0\})^{-1} R }[/math] называется полем частных кольца [math]\displaystyle{ R }[/math]. Если [math]\displaystyle{ S }[/math] состоит из всех степеней фиксированного элемента [math]\displaystyle{ f }[/math], локализация обозначается как [math]\displaystyle{ R_f }[/math].

Простые идеалы и спектр

Основные статьи: Простой идеал и Спектр кольца

Особенно важный тип идеалов — простые идеалы, часто обозначаемые буквой [math]\displaystyle{ p }[/math]. По определению, простой идеал — это несобственный идеал, такой что если в нём содержится произведение двух элементов, то в нём содержится хотя бы один из этих элементов. Эквивалентное определение — факторкольцо [math]\displaystyle{ R / p }[/math] целостно. Ещё одно эквивалентное определение — дополнение [math]\displaystyle{ R \backslash p }[/math] замкнуто относительно умножения. Локализация [math]\displaystyle{ (R \backslash p)^{-1} R }[/math] достаточно важна, чтобы иметь своё собственное обозначение: [math]\displaystyle{ R_p }[/math]. Это кольцо имеет только один максимальный идеал: [math]\displaystyle{ pR_p }[/math]. Подобные кольца называются локальными.

Простые идеалы — ключевой элемент геометричного описания кольца, с помощью спектра кольца Spec [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]. Как множество, Spec [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] состоит из простых идеалов. Если [math]\displaystyle{ R }[/math] — поле, в нём есть только один простой идеал (нулевой), поэтому спектр поля — точка. Другой пример — Spec [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math] содержит одну точку для нулевого идеала и одну — для каждого простого числа [math]\displaystyle{ p }[/math]. Спектр снабжен топологией Зарисского, в которой открытые множества — это множества вида [math]\displaystyle{ D(f) = \{p \in Spec R, f \notin p\} }[/math], где [math]\displaystyle{ f }[/math] — произвольный элемент кольца. Эта топология отличается от обычных примеров топологий из анализа: например, замыкание точки, соответствующей нулевому идеалу — это всегда весь спектр.

Определение спектра является базовым для коммутативной алгебры и алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии спектр снабжается пучком [math]\displaystyle{ \mathcal O }[/math]. Пара «пространство и пучок на нём» называется аффинной схемой. По аффинной схеме можно восстановить исходное кольцо путём применения функтора глобальных сечений. Более того, это соответствие функториально: оно сопоставляет каждому гомоморфизму колец [math]\displaystyle{ f }[/math] : [math]\displaystyle{ R \to S }[/math] непрерывное отображение в противоположном направлении:

Spec [math]\displaystyle{ S }[/math] → Spec [math]\displaystyle{ R }[/math], [math]\displaystyle{ q \mapsto f^{-1}(q) }[/math] (прообраз любого простого идеала прост).

Таким образом, категории аффинных схем и коммутативных колец эквивалентны. Следовательно, многие определения, применяемые к кольцам и их гомоморфизмам появляются из геометрической интуиции. Аффинные схемы являются локальными данными для схем (примерно так же, как пространства [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math] являются локальными данными многообразий), которые представляют собой основной объект изучения алгебраической геометрии.

Гомоморфизмы колец

Как обычно в алгебре, гомоморфизмом называется отображение между алгебраическими объектами, сохраняющее их структуру. В частности, гомоморфизм (коммутативных) колец с единицей — это отображение [math]\displaystyle{ f }[/math] : [math]\displaystyle{ R \to S }[/math], такое что

[math]\displaystyle{ f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b), f(1) = 1 }[/math]

В этой ситуации [math]\displaystyle{ S }[/math] также является [math]\displaystyle{ R }[/math]-алгеброй: действительно, элементы [math]\displaystyle{ S }[/math] можно умножать на элементы [math]\displaystyle{ R }[/math] по правилу

[math]\displaystyle{ r \cdot s := f(r) \cdot s }[/math].

Ядро и образ гомоморфизма [math]\displaystyle{ f }[/math] — это множества [math]\displaystyle{ ker (f) = \{r \in R, f(r) = 0\} }[/math] и [math]\displaystyle{ im (f) = f(R) = \{f(r), r \in R\} }[/math]. Ядро является идеалом в [math]\displaystyle{ R }[/math], а образ — подкольцом [math]\displaystyle{ S }[/math].

Размерность

Основная статья: Размерность Крулля

Размерность Крулля (или просто размерность) является способом измерение «размера» кольца. А именно, это максимальная длина [math]\displaystyle{ n }[/math] цепочки простых идеалов вида

[math]\displaystyle{ \mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n }[/math].

Например, поле имеет размерность 0, потому что оно имеет только один идеал — нулевой. Размерность целых чисел — единица; единственная цепочка простых идеалов имеет вид

[math]\displaystyle{ 0 = \mathfrak p_0 \subsetneq p\mathbb Z = \mathfrak p_1 }[/math], где [math]\displaystyle{ p }[/math] — простое число.

Локальное кольцо с максимальным иделом [math]\displaystyle{ m }[/math] называется регулярным, если его размерность равна размерности [math]\displaystyle{ m/m^2 }[/math] как векторного пространства над [math]\displaystyle{ R/m }[/math].

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1 
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas». — Publications Mathématiques de l’IHÉS 4
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory (2nd ed.), Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 
• Pinter-Lucke, James (2007), Commutativity conditions for rings: 1950–2005, Expositiones Mathematicae Т. 25 (2): 165–174, ISSN 0723-0869, DOI 10.1016/j.exmath.2006.07.001 
• Zariski, Oscar & Samuel, Pierre (1958-60), Commutative Algebra I, II, University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc.