Алгебра над полем

Алгебра над полем — это векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — векторное пространство над полем [math]\displaystyle{ K }[/math], снабжённое операцией [math]\displaystyle{ A\times A\to A }[/math], называемой умножением. Тогда [math]\displaystyle{ A }[/math] является алгеброй над [math]\displaystyle{ K }[/math], если для любых [math]\displaystyle{ x,y,z\in A, \; a,b\in K }[/math] выполняются следующие свойства:

[math]\displaystyle{ (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z }[/math]
[math]\displaystyle{ x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z }[/math]
[math]\displaystyle{ (ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y) }[/math].

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:

Алгебра с единицей над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] — это кольцо с единицей [math]\displaystyle{ A }[/math], снабжённое гомоморфизмом колец с единицей [math]\displaystyle{ f:K\to A }[/math], таким, что [math]\displaystyle{ f(K) }[/math] принадлежит центру кольца [math]\displaystyle{ A }[/math] (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что [math]\displaystyle{ A }[/math] является векторным пространством над [math]\displaystyle{ K }[/math] со следующей операцией умножения на скаляр [math]\displaystyle{ \alpha\in K }[/math]: [math]\displaystyle{ \alpha x=f(\alpha)\cdot x }[/math].

Связанные определения

Гомоморфизм [math]\displaystyle{ K }[/math]-алгебр — это [math]\displaystyle{ K }[/math]-линейное отображение, такое что [math]\displaystyle{ f(ab)=f(a)\cdot f(b) }[/math] для любых [math]\displaystyle{ a,b }[/math] из области определения.
Подалгебра алгебры над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] — это линейное подпространство, такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит. Другими словами, подалгеброй [math]\displaystyle{ U }[/math] линейной алгебры [math]\displaystyle{ R }[/math] над полем [math]\displaystyle{ P }[/math] называется её подмножество если оно является подкольцом кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] и подпространством линейного пространства [math]\displaystyle{ R }[/math]^[1].
- Элемент алгебры называется алгебраическим, если он содержится в конечномерной подалгебре.
- Алгебра называется алгебраической, если все её элементы алгебраические.^[2]

Левый идеал [math]\displaystyle{ K }[/math]-алгебры — это линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения идеала кольца — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.
Алгебра с делением — это алгебра над полем, такая что для любых её элементов [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] уравнения [math]\displaystyle{ ax=b }[/math] и [math]\displaystyle{ ya=b }[/math] разрешимы^[3]. В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является телом.
Центр алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math] — это множество элементов [math]\displaystyle{ a \in A }[/math], таких что [math]\displaystyle{ x a = a x }[/math] для любого элемента [math]\displaystyle{ x \in A }[/math].

Примеры

Ассоциативные алгебры

Комплексные числа естественным образом являются двумерной алгеброй над вещественными числами.
Кватернионы являются четырёхмерной алгеброй над вещественными числами.
Предыдущие два примера являются полем и телом соответственно, и это не случайно: любая конечномерная алгебра над полем, не имеющая делителей нуля, является алгеброй с делением. Действительно, умножение на [math]\displaystyle{ x }[/math] слева является линейным преобразованием этой алгебры как векторного пространства, у этого преобразования нулевое ядро (так как [math]\displaystyle{ x }[/math] не является делителем нуля), следовательно, оно сюръективно; в частности, существует прообраз произвольного элемента [math]\displaystyle{ b }[/math], то есть такой элемент [math]\displaystyle{ y }[/math], что [math]\displaystyle{ xy }[/math] = [math]\displaystyle{ b }[/math]. Второе условие доказывается аналогично.
Коммутативная (и бесконечномерная) алгебра многочленов [math]\displaystyle{ K[x] }[/math].
Алгебры функций, такие как [math]\displaystyle{ \R }[/math]-алгебра вещественнозначных непрерывных функций, определённых на интервале (0, 1), или [math]\displaystyle{ \Complex }[/math]-алгебра голоморфных функций, определённых на зафиксированном открытом подмножестве комплексной плоскости.
Алгебры линейных операторов на гильбертовом пространстве.

Неассоциативные алгебры

Структурные коэффициенты

Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] достаточно указать её размерность [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ n^3 }[/math] структурных коэффициентов [math]\displaystyle{ c_{i,j,k} }[/math], являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:

[math]\displaystyle{ \mathbf{e}_{i} \mathbf{e}_{j} = \sum_{k=1}^n c_{i,j,k} \mathbf{e}_{k} }[/math]

где [math]\displaystyle{ (e_1,e_2,\ldots e_n) }[/math] — некоторый базис [math]\displaystyle{ A }[/math]. Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.

Если [math]\displaystyle{ K }[/math] — только коммутативное кольцо, а не поле, это описание возможно, только когда алгебра [math]\displaystyle{ A }[/math] является свободным модулем.

См. также

Примечания

↑ Скорняков Л. А. Элементы алгебры. - М., Наука, 1986. - с. 190
↑ Джекобсон Н. Строение колец. — М.: ИЛ, 1961. — 392 с.
↑ Кузьмин Е. Н. Алгебра с делением Архивная копия от 14 июля 2015 на Wayback Machine

Литература

Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.

[1] Скорняков Л. А. Элементы алгебры. - М., Наука, 1986. - с. 190

[2] Джекобсон Н. Строение колец. — М.: ИЛ, 1961. — 392 с.

[3] Кузьмин Е. Н. Алгебра с делением Архивная копия от 14 июля 2015 на Wayback Machine

[1]

[2]

[3]