Делитель нуля
В общей алгебре элемент [math]\displaystyle{ a }[/math] кольца называется[1]:
- левым делителем нуля, если существует ненулевое [math]\displaystyle{ b }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ ab = 0; }[/math]
- правым делителем нуля, если существует ненулевое [math]\displaystyle{ b }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ ba = 0. }[/math]
Далее всюду в данной статье кольцо считается нетривиальным, то есть в нём имеются элементы, отличные от нуля.
Элемент, который одновременно является и правым, и левым делителем нуля, называется делителем нуля. Если умножение в кольце коммутативно, то понятия правого и левого делителя совпадают. Элемент кольца, который не является ни правым, ни левым делителем нуля, называется регулярным элементом[2].
Ноль кольца называется несобственным (или тривиальным) делителем нуля. Соответственно, элементы, отличные от нуля и являющиеся делителями нуля, называются собственными (нетривиальными) делителями нуля.
Коммутативное кольцо с единицей, в котором нет нетривиальных делителей нуля, называется областью целостности[3].
Свойства
Если [math]\displaystyle{ a }[/math] не является левым делителем нуля, то равенство [math]\displaystyle{ ab=ac }[/math] можно сократить на [math]\displaystyle{ a; }[/math] аналогично с правым делителем нуля. В частности, в области целостности сокращение на ненулевой множитель всегда возможно[3].
Множество регулярных элементов коммутативного кольца замкнуто относительно умножения.
Обратимые элементы кольца не могут быть делителями нуля[2]. Обратимые элементы кольца часто называют «делителями единицы», поэтому предыдущее утверждение можно сформулировать иначе: делитель единицы не может быть одновременно делителем нуля. Отсюда следует, что ни в каком теле или поле делителей нуля быть не может[4].
В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы может быть строго доказано).
Линейно упорядоченное кольцо со строгим порядком (то есть если произведение положительных элементов положительно) не содержит делителей нуля[5], см. также ниже пример упорядоченного кольца с делителями нуля.
Нильпотентный элемент кольца всегда является (и левым, и правым) делителем нуля. Идемпотентный элемент кольца [math]\displaystyle{ c }[/math], отличный от единицы, также является делителем нуля, поскольку [math]\displaystyle{ c(1-c)=0. }[/math]
Примеры
Кольцо целых чисел не содержит нетривиальных делителей нуля и является областью целостности.
В кольце вычетов [math]\displaystyle{ \mathbb Z_m }[/math] по модулю [math]\displaystyle{ m, }[/math] если k не взаимно просто с m, то вычет k является делителем нуля. Например, в кольце [math]\displaystyle{ \mathbb Z_6 }[/math] элементы 2, 3, 4 — делители нуля:
- [math]\displaystyle{ 2_6 \cdot 3_6 = 0;\ 4_6 \cdot 3_6 = 0 }[/math]
В кольце матриц порядка 2 или более также имеются делители нуля, например:
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} }[/math]
Поскольку определитель произведения равен произведению определителей сомножителей, произведение матриц будет нулевой матрицей только если определитель по крайней мере одного из сомножителей равен нулю. Несмотря на некоммутативность умножения матриц, понятия левого и правого делителей нуля в этом кольце совпадают; все делители нуля — это вырожденные матрицы с нулевым определителем.
Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)[6][7].
Примечания
- ↑ Ван дер Варден. Алгебра, 1975, с. 51.
- ↑ 2,0 2,1 Зарисский, Самюэль, 1963, с. 19.
- ↑ 3,0 3,1 Ван дер Варден. Алгебра, 1975, с. 52.
- ↑ Ван дер Варден. Алгебра, 1975, с. 55.
- ↑ Нечаев, 1975, с. 90.
- ↑ Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1962. — С. 137. — 517 с.
- ↑ Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — С. 272. — 299 с.
Литература
- Ван дер Варден. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — М.: Мир, 1975. — 649 с.
- Переиздание: СПб,: Лань, 2004, ISBN 5-8114-0552-9, 624 с.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1. — 370 с.
- Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Zero Divisor (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.