Теория размерности
Тео́рия разме́рности — часть общей топологии, в которой изучаются размерности — числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность определяются тем или иным естественным образом на широком классе топологических пространств. При этом, если [math]\displaystyle{ X }[/math] есть полиэдр (в частности, многообразие) размерность [math]\displaystyle{ X }[/math] совпадает с числом измерений в смысле элементарной геометрии.
Типы размерностей
- Индуктивная размерность — большая и малая индуктивные размерности [math]\displaystyle{ \left(\operatorname{Ind}\right. }[/math] и [math]\displaystyle{ \left.\operatorname{ind}\right) }[/math]
- Размерность Лебега [math]\displaystyle{ \left(\operatorname{dim}\right) }[/math]
- Гомологическая размерность
- Когомологическая размерность
История
Первое общее определение размерности (большой индукционной размерности [math]\displaystyle{ \operatorname{Ind} }[/math]) было дано Брауэром (1913), оно основывалось на идее Пуанкаре. В 1921 г. Менгер и Урысон независимо от Брауэра и друг от друга пришли к похожему определению (так называемая малая индуктивная размерность [math]\displaystyle{ \operatorname{ind} }[/math]). Совершенно иной подход к понятию размерности берёт начало от Лебега.
Размерность Хаусдорфа — связное определение для метрических пространств. Это определение дал Хаусдорф в 1919 году.
Определение по Урысону
Топологическая фигура является нульмерной, если в ней не существует никакой связной фигуры, содержащей более одной точки. Множество имеет размерность нуль, если любая его точка имеет сколь угодно малую относительную окрестность с пустой границей[1].
Множество имеет размерность единица, если оно не является нульмерным, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна. Множество имеет размерность [math]\displaystyle{ n }[/math], если оно не является [math]\displaystyle{ n-1 }[/math], но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нормально[2].
Точку [math]\displaystyle{ a }[/math] множества [math]\displaystyle{ X }[/math] отделяет от точки [math]\displaystyle{ b }[/math] множество [math]\displaystyle{ A }[/math] если в фигуре [math]\displaystyle{ X }[/math] не существует связного множества, которое содержит точки [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] и не пересекается с [math]\displaystyle{ A }[/math].
Топологическая фигура размерности [math]\displaystyle{ n }[/math] определяется как фигура, не являющаяся фигурой размерности [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] и в которой любую точку вместе с её окрестностью можно отделить от остальной части фигуры с помощью множества размерности, не превышающей [math]\displaystyle{ n-1 }[/math][3][4].
Примечания
- ↑ Виленкин, 1969, с. 149.
- ↑ Виленкин, 1969, с. 151.
- ↑ Болтянский, 1982, с. 35.
- ↑ Виленкин, 1969, с. 152.
Литература
- Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. — ИЛ, 1948.
- Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
- Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. — М.: Наука, 1969. — 159 с.