Замыкание (топология)

Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Замыкание множества [math]\displaystyle{ S }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ \bar S. }[/math] Другие обозначения: [math]\displaystyle{ \operatorname{cl}(S),\operatorname{Cl}(S). }[/math]

Определения

Следующие два определения равносильны.

Как наименьшее замкнутое множество

Пусть [math]\displaystyle{ S }[/math] есть подмножество топологического пространства [math]\displaystyle{ X. }[/math] Замыканием [math]\displaystyle{ S }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math] называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих [math]\displaystyle{ S. }[/math]

Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.

Через точки прикосновения

Точка [math]\displaystyle{ x }[/math] топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] называется точкой прикосновения множества [math]\displaystyle{ S, }[/math] если любая окрестность [math]\displaystyle{ x }[/math] содержит хотя бы одну точку множества [math]\displaystyle{ S. }[/math]

Множество всех точек прикосновения [math]\displaystyle{ S }[/math] называется замыканием [math]\displaystyle{ S. }[/math]

Свойства

Замыкание множества замкнуто.
Замыкание множества содержит само множество, то есть
[math]\displaystyle{ S\subseteq\bar{S}. }[/math]
Замыкание множества содержит все его предельные точки.
Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть
[math]\displaystyle{ S=\bar{S}. }[/math]
Свойство идемпотентности: повторное применение операции замыкания не изменяет результат (что сразу вытекает из свойств 1 и 4):
[math]\displaystyle{ \bar{\bar{S}}=\bar{S}. }[/math]
Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть
[math]\displaystyle{ (S\subset T)\Rightarrow(\bar{S}\subset\bar{T}). }[/math]
Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть
[math]\displaystyle{ \overline{S\cup T}=\bar{S}\cup\bar{T}. }[/math]
Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть
[math]\displaystyle{ \overline{S\cap T}\subset\bar{S}\cap\bar{T}. }[/math]

Примеры

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] с заданной на ней стандартной топологией.

[math]\displaystyle{ \overline{(a,\;b)}=[a,\;b]; }[/math]
[math]\displaystyle{ \bar{\Q}=\R, }[/math] где [math]\displaystyle{ \Q }[/math] — множество рациональных чисел.