Перейти к содержанию

Хаусдорфово пространство

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T2.

Названо в честь Феликса Хаусдорфа — одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью.

Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.

Определение

Топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] называется хаусдорфовым, если любые две различных точки [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math] из [math]\displaystyle{ X }[/math] обладают непересекающимися окрестностями [math]\displaystyle{ U(x) }[/math], [math]\displaystyle{ V(y) }[/math].

Примеры и контрпримеры

Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности: евклидовы пространства [math]\displaystyle{ \R^n }[/math], многообразия, большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких, как [math]\displaystyle{ L^p\ }[/math] или [math]\displaystyle{ W^{1,\;p} }[/math], [math]\displaystyle{ p\geqslant 1\ }[/math].

Если топологическая группа является T0-пространством, то она хаусдорфова. Если T0 не выполнено, то факторизация по замыканию нейтрального элемента группы даст хаусдорфово пространство[1]. По этой причине некоторые источники включают хаусдорфовость в определение топологической группы.

Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга. Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии. Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.

Свойства

  • Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
  • Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали [math]\displaystyle{ \Delta=\{(x,\;x)\;|\;x\in X\} }[/math] в декартовом квадрате [math]\displaystyle{ X\times X }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math].
  • В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
  • Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
  • Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.
  • Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счётную базу топологии.
  • Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
  • Любое конечное хаусдорфово пространство дискретно.

Примечания

  1. D. Ramakrishnan and R. Valenza. Fourier Analysis on Number Fields. — Springer-Verlag, 1999. — (Graduate Texts in Mathematics).

Литература

  • Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — 2-е, стереотипное. — М.: Лань, 2010. — 368 с. — ISBN 978-5-8114-0981-5.