Хаусдорфово пространство
Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T2.
Названо в честь Феликса Хаусдорфа — одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью.
Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.
Определение
Топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] называется хаусдорфовым, если любые две различных точки [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math] из [math]\displaystyle{ X }[/math] обладают непересекающимися окрестностями [math]\displaystyle{ U(x) }[/math], [math]\displaystyle{ V(y) }[/math].
Примеры и контрпримеры
Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности: евклидовы пространства [math]\displaystyle{ \R^n }[/math], многообразия, большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких, как [math]\displaystyle{ L^p\ }[/math] или [math]\displaystyle{ W^{1,\;p} }[/math], [math]\displaystyle{ p\geqslant 1\ }[/math].
Если топологическая группа является T0-пространством, то она хаусдорфова. Если T0 не выполнено, то факторизация по замыканию нейтрального элемента группы даст хаусдорфово пространство[1]. По этой причине некоторые источники включают хаусдорфовость в определение топологической группы.
Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга. Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии. Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.
Свойства
- Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
- Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали [math]\displaystyle{ \Delta=\{(x,\;x)\;|\;x\in X\} }[/math] в декартовом квадрате [math]\displaystyle{ X\times X }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math].
- В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
- Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
- Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.
- Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счётную базу топологии.
- Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
- Любое конечное хаусдорфово пространство дискретно.
Примечания
- ↑ D. Ramakrishnan and R. Valenza. Fourier Analysis on Number Fields. — Springer-Verlag, 1999. — (Graduate Texts in Mathematics).
Литература
- Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — 2-е, стереотипное. — М.: Лань, 2010. — 368 с. — ISBN 978-5-8114-0981-5.
Для улучшения этой статьи желательно: |