Нормальное пространство

Норма́льное простра́нство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T₁, T₄, то есть такое топологическое пространство, в котором одноточечные множества замкнуты и любые два непересекающихся замкнутых множества отделимы окрестностями (то есть содержатся в непересекающихся открытых множествах).

Свойства

• Нормальные пространства образуют частный случай вполне регулярных или тихоновских пространств. Это следует из леммы Урысона: в нормальном пространстве любые два непересекающиеся замкнутые множества функционально отделимы.
• Теорема Титце о продолжении. Каждая непрерывная вещественная функция, заданная на замкнутом подмножестве нормального пространства, непрерывно продолжается на всё пространство.
• Всякое замкнутое подпространство нормального пространства нормально.
• Пространства, все подпространства которых нормальны, называются наследственно нормальными или вполне нормальными.
  • Для наследственной нормальности достаточно, чтобы все его открытые подпространства были нормальны.
  • Для наследственной нормальности пространства необходимо и достаточно, чтобы были отделимы окрестностями всякие два множества, из которых ни одно не содержит точек соприкосновения другого.
• Нормальное пространство называется совершенно нормальным, если в нём каждое замкнутое множество является пересечением счётного числа открытых множеств.
  • Всякое совершенно нормальное пространство есть наследственно нормальное пространство.
  • Всякое метрическое пространство совершенно нормально.
• Нормальное пространство, в котором для любого дискретного семейства замкнутых множеств [math]\displaystyle{ {\{F_s\}}_{s\in S} }[/math] существует дискретное семейство открытых множеств [math]\displaystyle{ {\{U_s\}}_{s\in S} }[/math], такое, что [math]\displaystyle{ F_s \subset U_s }[/math] для каждого [math]\displaystyle{ s\in S }[/math], называется коллективно нормальным.
  • Все паракомпактные хаусдорфовы пространства (в частности, метрические пространства) коллективно нормальны.
• Произведение двух нормальных пространств не обязано быть нормальным, и даже произведение нормального пространства на отрезок может не быть нормальным.

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.