Число Брюно

Число Брюно — иррациональное число [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], для которого конечна функция Брюно [math]\displaystyle{ B(\alpha) }[/math] — бесконечная сумма:

[math]\displaystyle{ B(\alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\log q_{n+1}}{q_n} }[/math]

([math]\displaystyle{ q_n }[/math] — знаменатель [math]\displaystyle{ n }[/math]-го члена [math]\displaystyle{ \frac{p_n}{q_n} }[/math] непрерывная дроби разложения [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]).

Функция Брюно [math]\displaystyle{ B(x) }[/math] определена для иррационального [math]\displaystyle{ x }[/math] и удовлетворяет следующим условиям:

[math]\displaystyle{ B(x) =B(x+1) }[/math]

[math]\displaystyle{ B(x) = - \log x +xB(1/x) }[/math] для всех иррациональных [math]\displaystyle{ x }[/math] от 0 до 1.

Числа открыты и изучены советским математиком Александра Брюно в работе 1971 году, в которой улучшено диофантово условие в теореме Зигеля: ростки голоморфных функций с линейной частью [math]\displaystyle{ e^{2\pi i \alpha} }[/math] линеаризуемы, если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — число Брюно. В 1987 году Жан-Кристоф Йоккоз показал, что это условие является необходимым, причём для квадратичных многочленов оно не только необходимо, но и достаточно.

У чисел Брюно существует не так много больших «скачков» в последовательностях в которых знаменатель [math]\displaystyle{ (n + 1) }[/math]-го сходящегося числа экспоненциально больше, чем знаменатель [math]\displaystyle{ n }[/math]-го сходящегося числа. В отличие от чисел Лиувилля они не могут быть необычно^{[уточнить]} точными диофантовыми приближениями рациональных чисел.