Росток (математика)

Росток объекта на топологическом пространстве выражает локальные свойства объекта. В некотором смысле можно сказать, что это новый объект, который перенимает лишь локальные свойства объекта его породившего (чаще всего в роли таких объектов выступают отображения). Очевидно, что различные функции могут задавать один и тот же росток. В таком случае все локальные свойства (непрерывность, гладкость и т. п.) у таких функций совпадают и достаточно рассматривать свойства не самих функций, а лишь их ростков. Важный момент заключается в том, чтобы ввести понятие локальности, поэтому ростки рассматривают для объектов на топологическом пространстве.

Формальное определение

Пусть задана точка [math]\displaystyle{ x }[/math] топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] и два отображения [math]\displaystyle{ f,\;g:X\to Y }[/math] в любое множество [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Тогда говорят, что [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] задают один и тот же росток в [math]\displaystyle{ x }[/math], если есть окрестность [math]\displaystyle{ U }[/math] точки [math]\displaystyle{ x }[/math], такая что ограничение [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] на [math]\displaystyle{ U }[/math] совпадают. То есть,

[math]\displaystyle{ f|_U=g|_U }[/math]

(что означает [math]\displaystyle{ \forall x'\in U,\;f(x')=g(x') }[/math]).

Аналогично говорят о двух подмножества [math]\displaystyle{ S,\;T\subset X }[/math]: они определяют один и тот же росток в [math]\displaystyle{ x }[/math], если существует окрестность [math]\displaystyle{ U }[/math], такая что:

[math]\displaystyle{ S\cap U=T\cap U. }[/math]

Очевидно, что задание одинаковых ростков в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] есть отношение эквивалентности (на отображениях или множествах соответственно), и эти классы эквивалентности называются ростками (ростками отображения или ростками множества). Отношение эквивалентности обозначают обычно [math]\displaystyle{ f\sim_x g }[/math] или [math]\displaystyle{ S\sim_x T }[/math].

Росток данного отображения [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] обычно обозначают [math]\displaystyle{ [f]_x }[/math]. Аналогично, росток, задаваемый множеством [math]\displaystyle{ S }[/math], обозначают [math]\displaystyle{ [S]_x }[/math].

[math]\displaystyle{ [f]_x=\{g:X\to Y\mid g\sim_x f\}. }[/math]

Росток, отображающий точку [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] в точку [math]\displaystyle{ y\in Y }[/math] пишут [math]\displaystyle{ (X,\;x)\to(Y,\;y) }[/math], таким образом [math]\displaystyle{ f }[/math] является целым классом эквивалентности отображений, и под [math]\displaystyle{ f }[/math] принято понимать любое репрезентативное отображение. Можно также отметить, что два множества эквивалентны (задают один и тот же росток множеств), если эквивалентны их характеристические функции (относительно ростков отображений):

[math]\displaystyle{ S\sim_x T\Longleftrightarrow\mathbf{1}_S\sim_x\mathbf{1}_T. }[/math]

Литература

• Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. Введение в h-принцип. — М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2004. — ISBN 5-94057-126-3.