Покрытие множества

Покры́тие в математике — семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.

Обычно покрытия рассматривается в общей топологии, где наибольший интерес представляют открытые покрытия — семейства открытых множеств. В комбинаторной геометрии важную роль играют покрытия выпуклыми множествами^[1].

Определения

Пусть дано множество [math]\displaystyle{ X }[/math]. Семейство множеств [math]\displaystyle{ C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} }[/math] называется покрытием [math]\displaystyle{ X }[/math], если

[math]\displaystyle{ X \subseteq \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}. }[/math]

Пусть дано топологическое пространство [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math], где [math]\displaystyle{ X }[/math] — произвольное множество, а [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] — определённая на [math]\displaystyle{ X }[/math] топология. Тогда семейство открытых множеств [math]\displaystyle{ C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subseteq \mathcal{T} }[/math] называется открытым покрытием множества [math]\displaystyle{ Y \subseteq X }[/math], если

[math]\displaystyle{ Y \subseteq \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ C }[/math] — покрытие множества [math]\displaystyle{ Y }[/math], то любое подмножество [math]\displaystyle{ D \subset C }[/math], также являющееся покрытием [math]\displaystyle{ Y }[/math], называется подпокры́тием.
Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие [math]\displaystyle{ D = \{V_{\beta}\}_{\beta \in B} }[/math] вписано в покрытие [math]\displaystyle{ C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} }[/math], если

[math]\displaystyle{ \forall \beta \in B\; \exists \alpha \in A }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ V_{\beta} \subseteq U_{\alpha}. }[/math]

Покрытие [math]\displaystyle{ C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} }[/math] множества [math]\displaystyle{ Y }[/math] называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки [math]\displaystyle{ y\in Y }[/math] существует окрестность [math]\displaystyle{ U \ni y }[/math], пересекающаяся лишь с конечным числом элементов [math]\displaystyle{ C }[/math], то есть множество [math]\displaystyle{ \{\alpha \in A \mid U_{\alpha} \cap U \not= \varnothing \} }[/math] конечно.
Покрытие [math]\displaystyle{ C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} }[/math] множества [math]\displaystyle{ Y }[/math] называется фундамента́льным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством [math]\displaystyle{ U\in C }[/math] открыто в [math]\displaystyle{ U }[/math], открыто и в [math]\displaystyle{ Y }[/math].
[math]\displaystyle{ Y }[/math] называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
[math]\displaystyle{ Y }[/math] называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.

↑ Покрытие множества — статья из Математической энциклопедии. А. В. Архангельский, П. С. Солтан