Теорема Гельфонда — Шнайдера

Теорема Гельфонда—Шнайдера — теорема в теории чисел, которая устанавливает трансцендентность большого класса чисел и тем самым решает (утвердительно) Седьмую проблему Гильберта. Была доказана независимо в 1934 году советским математиком Александром Гельфондом^[1] и немецким математиком Теодором Шнайдером^[2].

Формулировка

Если [math]\displaystyle{ a, b }[/math] — алгебраические числа, причём [math]\displaystyle{ a }[/math] не ноль и не единица, а [math]\displaystyle{ b }[/math] иррационально, то любое значение [math]\displaystyle{ a^b }[/math] — трансцендентное число.

Эквивалентные формулировки для логарифмов (основание логарифма выбирается произвольно)^[3]:

Если [math]\displaystyle{ a, b }[/math] — алгебраические числа, не равные нулю или единице, то [math]\displaystyle{ \log(b) / \log(a) }[/math] — либо рациональное, либо трансцендентное число.

Если [math]\displaystyle{ \log(a), \log(b) }[/math] линейно независимы над полем рациональных чисел, то они линейно независимы и над полем алгебраических чисел.

Про обобщение последней формулировки см. статью Теория трансцендентных чисел.

Значения [math]\displaystyle{ a,b }[/math] могут быть не только вещественными, но и комплексными числами; поскольку комплексная степень многозначна, в формулировке особо подчёркнуто: любое значение.
Если убрать требование, чтобы [math]\displaystyle{ a, b }[/math] были алгебраическими числами, теорема будет неверна. Пример:

[math]\displaystyle{ {\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2. }[/math]

Из примера, с учётом теоремы, также очевидно, что [math]\displaystyle{ {\sqrt{2}^\sqrt{2}} }[/math] — трансцендентное число.

Из теоремы вытекает трансцендентность некоторых важных математических констант.

Постоянная Гельфонда — Шнайдера [math]\displaystyle{ 2^{\sqrt{2}} }[/math] и уже упомянутый выше квадратный корень из неё: [math]\displaystyle{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}}. }[/math]
Постоянная Гельфонда [math]\displaystyle{ e^{\pi} = \left( e^{i \pi} \right)^{-i} = (-1)^{-i} = 23.14069263 \ldots }[/math], а также[math]\displaystyle{ i^i = \left( e^{i \pi / 2} \right)^i = e^{-\pi / 2} = 0.207879576 \ldots. }[/math]

↑ Гельфонд А. О. Sur le septième problème de Hilbert // Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук. — М., 1934. — Вып. 4. — С. 623—634. Архивировано 9 августа 2018 года.
↑ Schneider, Theodor. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil 1,2, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, volume 172, 1934, pp. 65–69, 70-74.
↑ Фельдман.

Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. — М.: ГИТТЛ, 1952. — 224 с.
Трансцендентное число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. — М.: Изд-во МГУ, 1982. — 312 с.
Baker, Alan. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975. — ISBN 0-521-20461-5.
Lang, Serge. Introduction to Transcendental Numbers. — Addison–Wesley, 1966. — ISBN 0-521-20461-5.

Жуков А. Алгебраические и трансцендентные числа (неопр.). Дата обращения: 9 августа 2017.
Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа (неопр.). Дата обращения: 9 августа 2017.
A proof of the Gelfond–Schneider theorem
Hyun Seok, Lee. On Transcendence Theory with little history, new results and open problems (неопр.). Дата обращения: 9 августа 2017.
Waldschmidt, Michel (2001). Gel'fond-Schneider method // Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric W. Gelfond-Schneider Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.