Статистика Ферми — Дирака

Статистика Фе́рми — Дира́ка — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули: одно квантовое состояние не может быть занято более чем одной частицей). Определяет вероятность, с которой данный энергетический уровень системы, находящейся в термодинамическом равновесии, оказывается занятым фермионом.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц [math]\displaystyle{ n_i }[/math] с энергией [math]\displaystyle{ \varepsilon_i }[/math] есть

[math]\displaystyle{ n_i=\frac{g_i}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)+1} }[/math],

где [math]\displaystyle{ g_i }[/math] — кратность вырождения (число состояний частицы с энергией [math]\displaystyle{ \varepsilon_i }[/math]), [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — химический потенциал (при нуле температуры равен энергии Ферми [math]\displaystyle{ E_F }[/math]), [math]\displaystyle{ k }[/math] — постоянная Больцмана, [math]\displaystyle{ T }[/math] — абсолютная температура.

В идеальном ферми-газе при низких температурах [math]\displaystyle{ \mu=E_F }[/math]. В этом случае, если [math]\displaystyle{ g_i=1 }[/math], функция числа (доли) заполнения уровней частицами называется функцией Ферми:

[math]\displaystyle{ F(\varepsilon, T)=\frac{1}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon-E_F}{kT}\right)+1}. }[/math]

Указанная статистика предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл. В 1927 статистика была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

Свойства статистики Ферми — Дирака

Функция Ферми — Дирака обладает следующими свойствами:

безразмерна;
принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до 1;
убывает с энергией, резко спадая вблизи энергии, равной химическому потенциалу;
при абсолютном нуле имеет вид ступеньки со скачком от 1 до 0 при [math]\displaystyle{ \varepsilon = \mu }[/math], а при подъёме температуры скачок заменяется всё более плавным спадом;
при [math]\displaystyle{ \varepsilon = \mu }[/math] всегда [math]\displaystyle{ F = 1/2 }[/math] независимо от температуры.

Математический и физический смысл

Функцией Ферми — Дирака [math]\displaystyle{ F(\varepsilon, T) }[/math] задаются числа заполнения (англ. occupancy factor) квантовых состояний. Хотя она нередко называется «распределением», с точки зрения аппарата теории вероятностей она не является ни функцией распределения, ни плотностью распределения. В отношении этой функции, скажем, не может ставиться вопрос о нормировке.

Давая информацию о проценте заполненности состояний, функция [math]\displaystyle{ F(\varepsilon, T) }[/math] ничего не говорит о наличии этих состояний. Для систем с дискретными энергиями набор их возможных значений задаётся перечнем [math]\displaystyle{ \varepsilon_1 }[/math], [math]\displaystyle{ \varepsilon_2 }[/math] и т.д., а для систем с непрерывным спектром энергий состояния характеризуются «плотностью состояний» [math]\displaystyle{ \rho(\varepsilon) }[/math] (Дж^-1 или Дж^-1м^-3). Функция

[math]\displaystyle{ f(\varepsilon) =\left(\int\rho(\varepsilon)F(\varepsilon)d\varepsilon\right)^{-1}\rho(\varepsilon)F(\varepsilon) }[/math]

является плотностью распределения (Дж^-1) частиц по энергии и нормирована. Для краткости, аргумент [math]\displaystyle{ T }[/math] опущен. В наиболее традиционных случаях [math]\displaystyle{ \rho(\varepsilon)\sim \sqrt{\varepsilon} }[/math].

Классический (максвелловский) предел

При высоких температурах и/или низких концентрациях частиц статистика Ферми — Дирака (равно как и статистика Бозе — Эйнштейна) переходят в статистику Максвелла — Больцмана. А именно, в таких условиях

[math]\displaystyle{ F(\varepsilon) = \exp\left(\frac{E_F-\varepsilon}{kT}\right) }[/math].

После подстановки плотности состояний [math]\displaystyle{ \rho(\varepsilon) }[/math] и интегрирования по [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] от 0 до [math]\displaystyle{ +\infty }[/math] выражение для [math]\displaystyle{ f }[/math] примет вид

[math]\displaystyle{ f(\varepsilon) = \frac {2\pi\sqrt{\varepsilon}}{\sqrt{(\pi kT)^3}} \exp\left(-\frac{\varepsilon}{kT}\right) }[/math].

Это и есть плотность распределения Максвелла (по энергиям).

Распределением Максвелла (особенно хорошо работающим применительно к газам) описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурации «частица [math]\displaystyle{ A }[/math] в состоянии 1 и частица [math]\displaystyle{ B }[/math] в состоянии 2» и «частица [math]\displaystyle{ B }[/math] в состоянии 1 и частица [math]\displaystyle{ A }[/math] в состоянии 2» считаются разными.

Применение статистики Ферми — Дирака

Характеристика сферы применения

Статистики Ферми — Дирака, а также Бозе — Эйнштейна применяются в тех случаях, когда необходимо учитывать квантовые эффекты и «неразличимость» частиц. В парадигме различимости оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы.

Статистика Ферми — Дирака относится к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), а статистика Бозе — Эйнштейна — к бозонам. Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц [math]\displaystyle{ N/V\geqslant n_q }[/math] (где [math]\displaystyle{ N }[/math] — число частиц, [math]\displaystyle{ V }[/math] — объём, [math]\displaystyle{ n_q }[/math] — квантовая концентрация). Квантовой называется концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры.

Конкретные примеры

Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания поведения ансамбля электронов в твёрдых телах; на ней базируются многие положения теории полупроводников и электроники в целом. Например, концентрация электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитывается как

[math]\displaystyle{ n = \int\limits_{E_c}^{+\infty}\rho(\varepsilon)F(\varepsilon)\,d\varepsilon,\quad p = \int\limits_{-\infty}^{E_v}\rho(\varepsilon)(1-F(\varepsilon))\,d\varepsilon }[/math],

где [math]\displaystyle{ E_c }[/math] ([math]\displaystyle{ E_v }[/math]) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). Формула для туннельного тока между двумя областями, разделёнными квантовым потенциальным барьером, имеет общий вид

[math]\displaystyle{ j = \mbox{const}\cdot\int\Theta(\varepsilon)\left[F_L(\varepsilon)-F_R(\varepsilon)\right]\,d\varepsilon }[/math],

где [math]\displaystyle{ \Theta }[/math] — коэффициент прозрачности барьера, а [math]\displaystyle{ F_L }[/math], [math]\displaystyle{ F_R }[/math] — функции Ферми — Дирака в областях слева и справа от барьера.

Вывод распределения Ферми — Дирака

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Пусть энергия такой частицы равна [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]. Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

[math]\displaystyle{ Z=\sum_s e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ E(s) }[/math] — энергия состояния [math]\displaystyle{ s }[/math], [math]\displaystyle{ N(s) }[/math] — число частиц, находящихся в состоянии [math]\displaystyle{ s }[/math], [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — химический потенциал, [math]\displaystyle{ s }[/math] — индекс, пробегающий все возможные микросостояния системы.

В данном контексте система имеет фиксированные состояния. Если какое либо состояние занято [math]\displaystyle{ n }[/math] частицами, то энергия системы — [math]\displaystyle{ n\cdot\varepsilon }[/math]. Если состояние свободно, энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и то же физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся [math]\displaystyle{ s_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ s_2 }[/math] соответственно. Видно, что [math]\displaystyle{ E(s_1)=\varepsilon }[/math], [math]\displaystyle{ N(s_1)=1 }[/math], и [math]\displaystyle{ E(s_2)=0 }[/math], [math]\displaystyle{ N(s_2)=0 }[/math]. Поэтому функция распределения принимает вид:

[math]\displaystyle{ Z=\sum_{i=1}^2 e^{-(E(s_i)-\mu N(s_i))/kT}=e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1. }[/math]

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии [math]\displaystyle{ s_\alpha }[/math] вычисляется по формуле

[math]\displaystyle{ P(s_\alpha)=\frac{e^{-(E(s_\alpha)-\mu N(s_\alpha))/kT}}{Z}. }[/math]

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии [math]\displaystyle{ s_1 }[/math], вероятность которого

[math]\displaystyle{ \bar{n}=P(s_1)=\frac{e^{-(E(s_1)-\mu N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}}{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}. }[/math]

[math]\displaystyle{ \bar{n} }[/math] называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры [math]\displaystyle{ T }[/math], [math]\displaystyle{ \bar{n}(\varepsilon) }[/math] есть вероятность того, что состояние с энергией [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] будет занято фермионом.

Учтём, что энергетический уровень [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] имеет вырождение [math]\displaystyle{ g_\varepsilon }[/math]. Теперь можно произвести простую модификацию:

[math]\displaystyle{ \bar{n}=g_\varepsilon\cdot\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \bar{n}=\bar{n}(\varepsilon) }[/math] — ожидаемая доля частиц во всех состояниях с энергией [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math].

Уточнение влияния температуры

Для систем, имеющих температуру [math]\displaystyle{ T }[/math] ниже температуры Ферми [math]\displaystyle{ T_F=E_F/k }[/math], а иногда (не вполне правомерно) и для более высоких температур используется аппроксимация [math]\displaystyle{ \mu\approx E_F }[/math]. Но в общем случае химический потенциал зависит от температуры — и в ряде задач эту зависимость целесообразно учитывать. Функция [math]\displaystyle{ \mu }[/math] представляется с любой точностью степенным рядом по чётным степеням отношения [math]\displaystyle{ T/T_F\lt 1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \mu=E_F\sum_{{n=0,1,2\dots}}{\left[(-1)^n\frac{\pi^{2n}}{2^{2n}(2n+1)}\left(\frac{kT}{E_F}\right)^{2n}\right]}=E_F\left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{kT}{E_F}\right)^2+\frac{\pi^4}{80}\left(\frac{kT}{E_F}\right)^4+\ldots\right] }[/math].

См. также