Молекулярно-кинетическая теория

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) — теория, возникшая в XIX веке и рассматривающая строение вещества, в основном газов, с точки зрения трёх основных приближенно верных положений:

• все тела состоят из частиц: атомов, молекул и ионов;
• частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом);
• частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений.

МКТ стала одной из самых успешных физических теорий и была подтверждена целым рядом опытных фактов. Основными доказательствами положений МКТ стали:

• Диффузия
• Броуновское движение
• Изменение агрегатных состояний вещества

На основе МКТ развит целый ряд разделов современной физики, в частности, физическая кинетика и статистическая механика. В этих разделах физики изучаются не только молекулярные (атомные или ионные) системы, находящиеся не только в «тепловом» движении, и взаимодействующие не только через абсолютно упругие столкновения. Термин же молекулярно-кинетическая теория в современной теоретической физике уже практически не используется, хотя он встречается в учебниках по курсу общей физики.

История теории

Началом становления МКТ послужила теория М. В. Ломоносова. Ломоносов опытным путём опроверг теории о теплороде и флогистоне, подготовив тем самым, молекулярно-кинетическую теорию XIX века Рудольфа Клаузиуса, Людвига Больцмана и Джеймса Максвелла.

Основное уравнение МКТ

[math]\displaystyle{ p = \frac{1}{3}m_0nv^2 }[/math], где [math]\displaystyle{ m_0 }[/math] — масса одной молекулы газа, n — концентрация молекул, [math]\displaystyle{ v^2 }[/math] — среднеквадратичная скорость молекул.

Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры (давление, объём, температура) газовой системы с микроскопическими (масса молекул, средняя скорость их движения).

Релятивистское выражение для этой формулы имеет следующий вид: [math]\displaystyle{ p = \frac{2\rho c^2 (\gamma - 1) }{3}= \frac {2 \rho c^2 }{3} \left( \frac {1}{\sqrt {1- v^2/ c^2 }}-1 \right) \approx \frac {\rho v^2}{3}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \rho = m_0 n }[/math] — плотность движущегося вещества, [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света, [math]\displaystyle{ \gamma =\frac {1}{\sqrt {1- v^2/ c^2 }} }[/math] — Лоренц-фактор.

Вывод основного уравнения МКТ

Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной [math]\displaystyle{ l }[/math] и одна частица массой [math]\displaystyle{ m }[/math] в нём.

Обозначим скорость движения [math]\displaystyle{ v_x }[/math], тогда перед столкновением со стенкой сосуда импульс частицы равен [math]\displaystyle{ mv_x }[/math], а после — [math]\displaystyle{ -mv_x }[/math], поэтому стенке передается импульс [math]\displaystyle{ p = 2mv_x }[/math]. Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой, равно [math]\displaystyle{ t = \frac{2l}{v_x} }[/math].

Отсюда следует:

[math]\displaystyle{ F_x = \frac{p}{t} = \frac{2mv_x^2}{2l} }[/math]

Так как давление [math]\displaystyle{ p = \frac{F}{S} }[/math], следовательно сила [math]\displaystyle{ F = p*S }[/math]

Подставив, получим: [math]\displaystyle{ p_xS = \frac{mv_x^2}{l} }[/math]

Преобразовав: [math]\displaystyle{ p_x = \frac{mv_x^2}{lS} }[/math]

Так как рассматривается кубический сосуд, то [math]\displaystyle{ V=Sl }[/math]

Отсюда:

[math]\displaystyle{ p_x = \frac{mv_x^2}{V} }[/math].

Соответственно, [math]\displaystyle{ p_y = \frac{mv_y^2}{V} }[/math] и [math]\displaystyle{ p_z = \frac{mv_z^2}{V} }[/math].

Таким образом, для большого числа частиц верно следующее: [math]\displaystyle{ P_x = N\frac{m\bar{v_x^2}}{V} }[/math], аналогично для осей y и z.

Поскольку [math]\displaystyle{ v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 }[/math], то [math]\displaystyle{ \bar{v_x^2} = \bar{v_y^2} = \bar{v_z^2} = \frac{1}{3}\bar{v^2} }[/math]. Это следует из того, что все направления движения молекул в хаотичной среде равновероятны.

Отсюда [math]\displaystyle{ P_x = P_y = P_z = P = \frac{Nm\bar{v^2}}{3V} }[/math]

или [math]\displaystyle{ PV = \frac{N}{3}m\bar{v^2} }[/math].

Пусть [math]\displaystyle{ \,E_k }[/math] — среднее значение кинетической энергии одной молекулы, тогда:

[math]\displaystyle{ PV = \frac{2}{3}NE_k = {\nu}RT }[/math], откуда, используя то, что [math]\displaystyle{ {\nu}=\frac{N}{N_A} }[/math](количество вещества), а [math]\displaystyle{ R=N_Ak }[/math], имеем [math]\displaystyle{ {E_k}= \frac{3}{2}kT }[/math].

Уравнение среднеквадратичной скорости молекулы

Уравнение среднеквадратичной скорости молекулы легко выводится из основного уравнения МКТ для одного моля газа.

[math]\displaystyle{ E_k = \frac{1}{2}m\bar{v^2} = \frac{3}{2}kT }[/math],

[math]\displaystyle{ N_a m = M_r }[/math], где [math]\displaystyle{ M_r }[/math] — молярная масса газа, [math]\displaystyle{ m }[/math] — масса молекулы газа.

Отсюда окончательно

[math]\displaystyle{ \bar{v} = \sqrt{\frac{3kTN_A}{M_r}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} }[/math]

См. также

• Физическая кинетика
• Статистическая механика
• Статистическая физика

Литература

• Кинетическая теория газов // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Гиршфельд Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М., 1961
• Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. Л., 1975
• Кикоин А. К., Кикоин И. К. Молекулярная физика. М., 1996