Плотность состояний

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение

Чтобы вычислить плотность состояний (число состояний в единичном энергетическом интервале) частицы, сначала найдём плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или [math]\displaystyle{ k }[/math]-пространство). «Расстояние» между состояниями определяется граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в области [math]\displaystyle{ 0 \lt x \lt L_x }[/math] или для электронов в кристаллической решётке с размером решётки [math]\displaystyle{ L_x }[/math] используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана для волновой функции: [math]\displaystyle{ \psi(x) = \psi(x+L_x) }[/math]. С волновой функцией свободной частицы [math]\displaystyle{ \psi(x) = \mbox{const}\cdot e^{ikx} }[/math] получаем соотношения

[math]\displaystyle{ 2\pi N = kL_x \qquad \frac{2\pi}{L_x} = \Delta k }[/math],

где [math]\displaystyle{ N }[/math] — любое целое число, а [math]\displaystyle{ \Delta k }[/math] — расстояние между состояниями с различными [math]\displaystyle{ k }[/math]. Аналогичные соотношения имеют место и для других декартовых координат ([math]\displaystyle{ y }[/math], [math]\displaystyle{ z }[/math]).

Полное количество [math]\displaystyle{ k }[/math]-состояний, доступных для частицы, — это объём [math]\displaystyle{ k }[/math]-пространства, доступного для неё, делённый на объём [math]\displaystyle{ k }[/math]-пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объём — это просто интеграл от [math]\displaystyle{ 0 }[/math] до [math]\displaystyle{ k }[/math].

Объём [math]\displaystyle{ k }[/math]-пространства для одного состояния в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном случае запишется в виде

[math]\displaystyle{ G(k) = \frac{g_s}{\left( {\Delta k} \right)^n} \int\limits_0^k\,{d^n{\mathbf{k}}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ g_s }[/math] — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в [math]\displaystyle{ k }[/math]-пространстве: [math]\displaystyle{ g(k)\,dk = \frac{dG(k)}{dk}\,dk }[/math]. Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить [math]\displaystyle{ k }[/math] и [math]\displaystyle{ dk }[/math] в выражении [math]\displaystyle{ g(k)dk }[/math] в терминах [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ dE }[/math]. Например для свободного электрона: [math]\displaystyle{ E = \frac{p^2}{2m} = \frac{(\hbar k)^2}{2m} }[/math], [math]\displaystyle{ dE = \frac{\hbar^2 k}{m}\,dk. }[/math]

С более общим определением связано соотношение

[math]\displaystyle{ D(E) = \sum_s~\delta(E-E_s) }[/math]

(обычно подразумевают единичный объём, но при общей форме записи добавляется множитель [math]\displaystyle{ 1/V }[/math]), где индекс [math]\displaystyle{ s }[/math] соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а [math]\displaystyle{ \delta }[/math] — дельта-функция. При переходе от суммирования к интегрированию по фазовому пространству размерности [math]\displaystyle{ 2n }[/math] следует использовать правило

[math]\displaystyle{ \sum_s\rightarrow \int\frac{d^np~d^nq}{(2\pi\hbar)^n} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] — постоянная Планка, [math]\displaystyle{ p }[/math] — импульс, [math]\displaystyle{ q }[/math] — пространственные координаты (в случае, если объём единичный, этот интеграл опускают).

Примеры

В таблице представлены выражения для плотности состояний электронов с параболическим законом дисперсии:

	Доступный объём	Объём для одного состояния	Плотность состояний
[math]\displaystyle{ 3D }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi k^3 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{(2\pi)^3}{L_x L_y L_z} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2m^3}} {\pi^2\hbar^3}\sqrt{E} }[/math]
[math]\displaystyle{ 2D }[/math]	[math]\displaystyle{ \pi k^2 }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{(2\pi)^2}{L_x L_y} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{m} {\pi\hbar^2 L_z}\sum_l \Theta(E-E_l) }[/math]
[math]\displaystyle{ 1D }[/math]	[math]\displaystyle{ 2k }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{L_x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2m}}{\pi\hbar L_y L_z}\sum_l \frac{1}{\sqrt{E-E_l}} }[/math]
[math]\displaystyle{ 0D }[/math]			[math]\displaystyle{ \frac{2}{ L_x L_y L_z}\sum_l \delta (E-E_l) }[/math]

где [math]\displaystyle{ l }[/math] — индекс подзоны размерного квантования, [math]\displaystyle{ \Theta }[/math] — функция Хевисайда. Формулы описывают случай, когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Все формулы для [math]\displaystyle{ D(E) }[/math], приведённые в самой правой колонке, имеют размерность Дж^-1м^-3 и структуру «некое выражение [math]\displaystyle{ \rho(E) }[/math], делённое на произведение линейных размеров области квантования» — этих размеров столько, по скольким координатам ограничено движение. Если такое деление не производить (убрать все [math]\displaystyle{ L }[/math]), то останется [math]\displaystyle{ \rho(E) }[/math] с размерностью [[math]\displaystyle{ \rho }[/math]] = Дж^-1м^-3, Дж^-1м^-2, Дж^-1м^-1 и Дж^-1, соответственно, для двумерного (2D), одномерного (1D) и нульмерного (0D) случаев. Под «плотностью состояний», в зависимости от контекста, может подразумеваться не только [math]\displaystyle{ D(E) }[/math], но и [math]\displaystyle{ \rho(E) }[/math].

Использование

Плотность состояний фигурирует в выражениях для расчёта концентрации частиц при их известном энергетическом распределении. Для фермионов, каковыми являются электроны, в условиях равновесия это распределение соответствует статистике Ферми — Дирака, а для бозонов, в том числе фотонов, — статистике Бозе — Эйнштейна.

Скажем, концентрации электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитываются как

[math]\displaystyle{ n = \int\limits_{E_c}^{+\infty}\rho(E)F(E)\,dE,\quad p = \int\limits_{-\infty}^{E_v}\rho(E)(1-F(E))\,dE }[/math],

где [math]\displaystyle{ F }[/math] — функция Ферми, [math]\displaystyle{ E_c }[/math] ([math]\displaystyle{ E_v }[/math]) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). В качестве [math]\displaystyle{ \rho }[/math] здесь должна быть подставлена формула для объекта соответствующей размерности: [math]\displaystyle{ \rho_{3D} }[/math] для толщи материала (и тогда концентрации будут в м^-3), [math]\displaystyle{ \rho_{2D} }[/math] для квантовой ямы (и тогда концентрацию получим в м^-2), [math]\displaystyle{ \rho_{1D} }[/math] для квантовой проволоки (концентрацию получим в м^-1) или [math]\displaystyle{ \rho_{0D} }[/math] (случай квантовой точки, получим не концентрацию, а число штук частиц).

Внешние ссылки

• Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine