Микроканонический ансамбль

Микроканонический ансамбль — статистический ансамбль макроскопической изолированной системы с постоянными значениями объёма V, числа частиц N и энергии E. Понятие микроканонического ансамбля является идеализацией, так как в действительности полностью изолированных систем не существует. В микроканоническом распределении Гиббса все микроскопические состояния, отвечающие данной энергии, равновероятны согласно эргодической гипотезе. Теорема Гиббса, доказанная автором, утверждает, что малую часть микроканонического ансамбля можно рассматривать в качестве канонического ансамбля.

Классическая статистика

Если через H (q, p) обозначить функцию Гамильтона, то есть энергию системы в зависимости от координат q и импульсов p каждой частицы, то функция распределения частиц по ним будет равномерной и отличной от нуля лишь на фазовой поверхности H (q, p)=E:

[math]\displaystyle{ \rho(q,p)=g^{-1}\delta (H(q,p)-E) }[/math],

где δ — дельта-функция, а постоянная g — плотность состояний (то есть фазового объёма), определяемая условием нормировки функции распределения на единицу при интегрировании по всем различным микросостояниям:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{N!}\int\rho(q,p)d\Gamma=1 }[/math]

dГ — элемент фазового объёма, который в классическом случае равен [math]\displaystyle{ d\Gamma=dpdq }[/math], а в квантовом случае в трёхмерном пространстве [math]\displaystyle{ d\Gamma=dpdq/h^{3N} }[/math], где h — постоянная Планка ([math]\displaystyle{ h=2\pi\hbar }[/math]). То есть, элемент фазового объёма dГ ,выраженный с помощью постоянной Дирака, [math]\displaystyle{ d\Gamma=\frac{dpdq}{(2\pi\hbar)^{3N}} }[/math]

Интервал энергии

Если система имеет энергию Е с точностью ΔE, то состояния с энергиями в слое (E, E + ΔE) также предполагаются равновероятными: [math]\displaystyle{ \rho(q,p)=\begin{cases} \frac{1}{g\Delta E}, & E\le H(q,p)\le E+\Delta E \\ 0, & |H(p,q)-E|\gt \Delta E \end{cases} }[/math]

Здесь нормировочным множителем [math]\displaystyle{ g\Delta E= \frac{d\Gamma}{d E}\Delta E =\Delta \Gamma (E,N,V) }[/math] выступает статистический вес (то есть число состояний в слое, его фазовый объём), определяемый заданными параметрами макросостояния.

Квантовая статистика

В квантовых системах ΔE обусловлено соотношением неопределённостей в связи со временем наблюдения. При этом можно рассматривать ансамбль полностью изолированных систем, когда ΔE/E → 0. Равномерное распределение вероятностей [math]\displaystyle{ w(E_k) }[/math] квантовых состояний с энергиями [math]\displaystyle{ E_k }[/math] в слое (E, E + ΔE) имеет аналогичный вышеописанному вид: [math]\displaystyle{ w(E_k)=\begin{cases} \frac{1 }{\Delta \Gamma}, & E\le E_k\le E+\Delta E \\ 0, & |E_k-E|\gt \Delta E \end{cases} }[/math]

Нормировка при этом дискретна: [math]\displaystyle{ \sum_{k}w(E_k)=1 }[/math]

Термодинамика

Термодинамические потенциалы, а с ними и вся термодинамика микроканонического ансамбля строится из энтропии, напрямую связанной со статистическим весом формулой Больцмана: [math]\displaystyle{ S (E,N,V)= k~ln\Delta \Gamma(E, N, V) }[/math], где k — постоянная Больцмана.

Микроканоническое распределение неудобно здесь для практического применения, так как для вычисления статистического веса необходимо вычислить все микросостояния системы.

Численное моделирование

Численное моделирование методом Монте-Карло микроканонического ансамбля также таит в себе затруднение — ведь энергия строго фиксирована, поэтому её случайное изменение не должно забываться, а отдаваться и забираться на каждом шаге через виртуальную подсистему («демона», аналога демона Максвелла), энергия которой не должна перескакивать нулевой порог (условие принятия конфигурации в шаге Монте-Карло).

См. также

Ссылки